Integrazione di funzioni razionali

[-123-1]

Salve, avrei un dubbio riguardante l'integrazione di funzioni razionali. Il mio testo indica:
[tex]\int{\frac{dx}{(x^2+1)^m}}=\int{\frac{dx}{(x^2+1)^{m-1}}}-\int{\frac{x^2}{(x^2+1)^m}dx}[/tex]
E fin qua ci sono, però dopo, integrando per parti l'ultimo integrale, fa questo:
[tex]\int{\frac{x^2dx}{(x^2+1)^m}}=\frac{x(x^2+1)^{1-m}}{2(1-m)}-\frac{1}{2(1-m)}\int{\frac{dx}{(x^2+1)^{m-1}}}[/tex]
Ciò che non capisco è il perchè del 2 che moltiplica (1-m) al denominatore della frazione che moltiplica l'ultimo integrale, dal momento che svolgendo da solo i calcoli l'(1-m) mi risulta solo a quel denominatore.
Ringrazio in anticipo chi mi risponderà, buona giornata a tutti

[pilloeffe]

Ciao -123-,

Benvenuto sul forum!

La prima deriva dall'identità

$ \frac{1}{(x^2+1)^m} = \frac{1}{(x^2+1)^{m-1}} - \frac{x^2}{(x^2+1)^m} $

Integrando i due membri si arriva proprio a quanto indicato dal tuo testo.
Per quanto riguarda la seconda, per vederla riscriverei l'integrale in modo diverso:

$ \int \frac{x^2dx}{(x^2+1)^m} = \int \frac{x}{2} [2x (x^2+1)^{- m}] dx = $
$ = \frac{x}{2} \cdot \frac{(x^2 + 1)^{- m + 1}}{- m + 1} - \int d/(dx)(x/2) \cdot \frac{(x^2 + 1)^{- m + 1}}{- m + 1} dx = $
$ = \frac{x(x^2 + 1)^{1 - m}}{2(1- m)} - 1/2 \int \frac{(x^2 + 1)^{1- m}}{1- m} dx = $
$ = \frac{x(x^2 + 1)^{1 - m}}{2(1- m)} - \frac{1}{2(1 - m)}\int \frac{dx}{(x^2 + 1)^{m - 1}} $

[-123-1]

Grazie mille, ora ho capito :)