Integrazione di funzioni non negative
non sto riuscendo a capire il perchè sia vera questa affermazione trovata nelle slide dove studio:
sia $f:[a,j)->RR$ integrabile su $[a,b]$ $AA b=0$ in $[a,j)$: allora la funzione $F(b)=\int_a^b f(x) dx$ è monotona crescente.
qualcuno riesce a spiegarmela?
Grazie
sia $f:[a,j)->RR$ integrabile su $[a,b]$ $AA b
qualcuno riesce a spiegarmela?
Grazie
Risposte
Chi è $F'(b)$?
"Mephlip":
Chi è $F'(b)$?
Forse...
Sarebbe la derivata dell'integrale di $f(x)$ e quindi $f(x)>=0$ stessa.
Giusto?
Anche perché per il T.F.C.I $F(b)$ è continua o sbaglio?
Già, quindi essendo la funzione integrale una funzione avente come variabile l'estremo superiore di integrazione essa è monotòna nell'estremo superiore di integrazione (ossia cresce/decresce al crescere dell'intervallo di integrazione, a seconda del segno di $f$, come puoi ben vedere nel grafico che ha mostrato axpgn).
Se $f$ è continua $F$ è addirittura derivabile per il teorema fondamentale del calcolo integrale, se $f$ è limitata (e lo è sempre nella teoria dell'integrale proprio secondo Riemann) $F$ è solo continua.
Se $f$ è continua $F$ è addirittura derivabile per il teorema fondamentale del calcolo integrale, se $f$ è limitata (e lo è sempre nella teoria dell'integrale proprio secondo Riemann) $F$ è solo continua.
"Mephlip":
Già, quindi essendo la funzione integrale una funzione avente come variabile l'estremo superiore di integrazione essa è monotòna nell'estremo superiore di integrazione (ossia cresce/decresce al crescere dell'intervallo di integrazione, a seconda del segno di $f$, come puoi ben vedere nel grafico che ha mostrato axpgn).
Se $f$ è continua $F$ è addirittura derivabile per il teorema fondamentale del calcolo integrale, se $f$ è limitata (e lo è sempre nella teoria dell'integrale proprio secondo Riemann) $F$ è solo continua.
Mi sono perso scusami...
Allora data $F(b)$ facendo $F'(b)$ si ha che $F'(b)=f(x)>=0$ e quindi $F(b)$ è una funzione monotona crescente...fino a qui ho scritto giusto?
Poi non ho capito onestamente il ragionamento fatto a partire dal grafico e perché dal grafico si deduce che è monotona crescente ( a me sembra decrescente e quindi sbaglio già da lì!)
Grazie
Prego!
Giusto.
Quello è il grafico di $f$, non di $F$. Ricorda l'interpretazione geometrica dell'integrale: è l'area sottesa al grafico di $f$ con l'asse delle $x$.
Quindi $F$ è l'area sottesa dalla funzione, non la funzione; come vedi, l'area aumenta all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo (ossia all'aumentare di $b$, variabile indipendente della funzione $F$).
Chiaro ora?
"Aletzunny":
Allora data $F(b)$ facendo $F'(b)$ si ha che $F'(b)=f(x)>=0$ e quindi $F(b)$ è una funzione monotona crescente...fino a qui ho scritto giusto?
Giusto.
"Aletzunny":
Poi non ho capito onestamente il ragionamento fatto a partire dal grafico e perché dal grafico si deduce che è monotona crescente (a me sembra decrescente e quindi sbaglio già da lì!)
Quello è il grafico di $f$, non di $F$. Ricorda l'interpretazione geometrica dell'integrale: è l'area sottesa al grafico di $f$ con l'asse delle $x$.
Quindi $F$ è l'area sottesa dalla funzione, non la funzione; come vedi, l'area aumenta all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo (ossia all'aumentare di $b$, variabile indipendente della funzione $F$).
Chiaro ora?
"Mephlip":
Prego!
[quote="Aletzunny"]Allora data $F(b)$ facendo $F'(b)$ si ha che $F'(b)=f(x)>=0$ e quindi $F(b)$ è una funzione monotona crescente...fino a qui ho scritto giusto?
Giusto.
"Aletzunny":
Poi non ho capito onestamente il ragionamento fatto a partire dal grafico e perché dal grafico si deduce che è monotona crescente (a me sembra decrescente e quindi sbaglio già da lì!)
Quello è il grafico di $f$, non di $F$. Ricorda l'interpretazione geometrica dell'integrale: è l'area sottesa al grafico di $f$ con l'asse delle $x$.
Quindi $F$ è l'area sottesa dalla funzione, non la funzione; come vedi, l'area aumenta all'aumentare dell'ampiezza dell'intervallo (ossia all'aumentare di $b$, variabile indipendente della funzione $F$).
Chiaro ora?[/quote]
Perfetto! Ora sì!
L'ultimo dubbio...ma io posso $F'(b)$ senza sapere che $F(b)$ è continua perché?
"Aletzunny":Scusa, non ho capito. $F$ è sempre continua, perché $f$ è sempre limitata nell'integrale proprio secondo Riemann (puoi provare a dimostrarlo per esercizio). Forse intendevi dire "senza che $F$ è derivabile".
L'ultimo dubbio...ma io posso F'(b) senza sapere che F(b) è continua perché?
In effetti ora che rileggo le ipotesi del tuo teorema ho un dubbio, tu per ipotesi hai che $f$ è solo integrabile e quindi non hai la continuità; quindi non sappiamo se $F$ è derivabile e perciò non si può derivare impunemente $F$.
Diciamo che il discorso che ti ho fatto funziona con $f$ continua, non solo integrabile; quindi non è da buttare, ti è comunque utile per capire come funzionano le funzioni integrali.
Ci ragiono un po' sopra e casomai riscrivo a cosa sono giunto, tutto ciò che ti ho detto è corretto se $f$ è continua.
Sicuro che ci sia $f$ integrabile nelle ipotesi e non continua? Probabilmente è vero anche con $f$ integrabile ma è meno semplice da dimostrare (non ci ho provato, è un'impressione a caldo che va presa con le pinze): magari con la definizione o con qualche altro teorema che ora come ora non mi viene in mente, quindi casomai aspetta anche pareri più esperti del mio.
P.S.: Se puoi evitare di citare tutto il messaggio il post è più pulito, basta che usi il pulsante "rispondi"; usa la citazione quando devi rispondere a specifici pezzi della risposta di un utente o non stai rispondendo all'ultimo utente che ha scritto, grazie
Si ho scritto continua anziché derivabile. Le ipotesi che ho scritto sono giuste, ho ricontrollato.
Quindi ho capito il ragionamento ma manca diciamo l'autorizzazione a poter fare $F'(b)$ ahah.
Quindi ho capito il ragionamento ma manca diciamo l'autorizzazione a poter fare $F'(b)$ ahah.
Ma non c'è bisogno di fare derivate. L'integrale è una somma. Se la funzione integranda è positiva, all'aumentare di \(b\) stai aggiungendo roba a questa somma, e quindi essa diventa più grande. Perciò il tutto è una funzione crescente della \(b\).
Per formalizzare, basta considerare la formula
\[
\int_a^{b+\delta} f\, dx = \int_a^b f\, dx + \int_b^{b+\delta} f\, dx, \]
l'ultimo addendo è positivo, e quindi...
Ah, vedo solo ora che Axpgn ha dato lo stesso suggerimento, ma sotto forma di grafici, molto meglio.
Per formalizzare, basta considerare la formula
\[
\int_a^{b+\delta} f\, dx = \int_a^b f\, dx + \int_b^{b+\delta} f\, dx, \]
l'ultimo addendo è positivo, e quindi...
Ah, vedo solo ora che Axpgn ha dato lo stesso suggerimento, ma sotto forma di grafici, molto meglio.
"dissonance":
Ma non c'è bisogno di fare derivate. L'integrale è una somma. Se la funzione integranda è positiva, all'aumentare di \(b\) stai aggiungendo roba a questa somma, e quindi essa diventa più grande. Perciò il tutto è una funzione crescente della \(b\).
Per formalizzare, basta considerare la formula
\[
\int_a^{b+\delta} f\, dx = \int_a^b f\, dx + \int_b^{b+\delta} f\, dx, \]
l'ultimo addendo è positivo, e quindi...
Ah, vedo solo ora che Axpgn ha dato lo stesso suggerimento, ma sotto forma di grafici, molto meglio.
Cioè se ho capito bene... all'aumentare di $b$ poiché la funzione è sempre positiva anche il valore dell'integrale sarà positivo...quindi aumenta anche l'area che si considera e dunque anche il suo valore...da cui $F(b)$ è monotona crescente...
Giusto?
Si, per essere giusto è giusto, ma potresti formalizzarlo molto meglio in un paio di formule e sarebbe estremamente meglio.
Va bene... capito!
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