Integrazione densità di Laplace
Ciao a tutti ragazzi,
sebbene la domanda coinvolga variabili aleatorie e funzioni di densità scrivo qui perché le difficoltà che sto riscontrando sono puramente matematiche. Una v. di Laplace ha densità $f(x):=(\lambda)/2e^(-\lambda|x-\mu|),\forall x \in RR$.
Noto allora che $F(x):=\int f(x)dx$ scrivo per $x<0$:
Porto fuori $1/2$ e ok. Quello che mi crea difficoltà è il modulo: se infatti avessi avuto ad es. $\lambdae^(-\lambdax)$ sarei andato a moltiplicare e dividere per $-x$ così da ricondurmi a un integrale notevole. Devo per caso andare di sostituzione con $z:=-\lambda|x-\mu|$? Se sì, come cambierebbero gli estremi di integrazione?
Grazie mille a chiunque voglia aiutarmi!
sebbene la domanda coinvolga variabili aleatorie e funzioni di densità scrivo qui perché le difficoltà che sto riscontrando sono puramente matematiche. Una v. di Laplace ha densità $f(x):=(\lambda)/2e^(-\lambda|x-\mu|),\forall x \in RR$.
Noto allora che $F(x):=\int f(x)dx$ scrivo per $x<0$:
$F(x):=mathbb(P)(X<=x):=\int_(-\infty)^(x) (\lambda)/2e^(-\lambda|x-\mu|)dx$
Porto fuori $1/2$ e ok. Quello che mi crea difficoltà è il modulo: se infatti avessi avuto ad es. $\lambdae^(-\lambdax)$ sarei andato a moltiplicare e dividere per $-x$ così da ricondurmi a un integrale notevole. Devo per caso andare di sostituzione con $z:=-\lambda|x-\mu|$? Se sì, come cambierebbero gli estremi di integrazione?
Grazie mille a chiunque voglia aiutarmi!
Risposte
Semplicemente, risolvi il modulo.
Quando $x>mu$ allora $f(x)=lambda/2e^(-lambda(x-mu))$
Quando $x
Quindi se, ad esempio, $x>mu$ allora $int_(-oo)^x f(x)dx=1/2+int_(mu)^x f(x)dx$
Quando $x>mu$ allora $f(x)=lambda/2e^(-lambda(x-mu))$
Quando $x
Quindi se, ad esempio, $x>mu$ allora $int_(-oo)^x f(x)dx=1/2+int_(mu)^x f(x)dx$
Ciao mobley,
Si tratta della funzione di ripartizione della ben nota distribuzione di Laplace, dai un'occhiata ad esempio qui.
Si tratta della funzione di ripartizione della ben nota distribuzione di Laplace, dai un'occhiata ad esempio qui.
Grazie ad entrambi per le risposte.
@Bokonon: se vale quanto mi hai spiegato per il modulo, allora ho per $x<\mu$...
...e per $x>\mu$: $mathbb(P)(X>x):=1-mathbb(P)(X<=x)=1-1/2e^(-\lambda(x-\mu))$.
Questi risultati sembrerebbero coincidere con il link di Wiki che ha postato @pilloeffe (ad eccezione del parametro $\lambda$ di posizione che anziché in termini di "tasso della distribuzione" $1/\lambda$ è espresso in valore assoluto).
Dovrebbe essere corretto. Chiedo quindi conferma
@Bokonon: se vale quanto mi hai spiegato per il modulo, allora ho per $x<\mu$...
$mathbb(P)(X<=x):=\int_(-\infty)^(x)f(x)dx=\int_(-\infty)^(x)\lambda/2e^(-\lambda(\mu-x))dx=1/2e^(-\lambda\mu)\int_(-\infty)^(x)\lambdae^(\lambdax)dx=1/2e^(-\lambda\mu)[e^(\lambdax)]_(-\infty)^(x)=1/2e^(-\lambda(\mu-x))$
...e per $x>\mu$: $mathbb(P)(X>x):=1-mathbb(P)(X<=x)=1-1/2e^(-\lambda(x-\mu))$.
Questi risultati sembrerebbero coincidere con il link di Wiki che ha postato @pilloeffe (ad eccezione del parametro $\lambda$ di posizione che anziché in termini di "tasso della distribuzione" $1/\lambda$ è espresso in valore assoluto).
Dovrebbe essere corretto. Chiedo quindi conferma
Beh, se nella trattazione del link che ti ho inviato poni $b := 1/\lambda > 0 $ si ottiene proprio la $f(x)$ proposta...
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