Integrazione definita
Salve a tutti, innanzitutto buon anno.
Ho riscontrato un problema con un integrale definito. Sia nell'applicazione teorica che nel risultato finale.
Allora, il testo dell'esercizio è:
$\int_0^-1 x/(1+x^2)dx$
L'estremo integrante superiore è più piccolo dell'inferiore. A tal proposito, dovrei mettere un $-$ prima dell'integrale ed invertirli:
$- \int_-1^0 x/(1+x^2)dx$
Qui già c'è la prima incongruenza, poichè nello svolgimento del libro non avviene una cosa del genere e va a risolvere l'integrale come un qualsiasi integrale definito in [a, b]. A tal proposito vi chiedo: ho sbagliato io e quindi non sempre si applica questa regola?
Un altro punto è nello svolgimento.
Porto la x del numeratore nel differenziale, portando subito dopo l' $1/2$ della derivata fuori dal segno di integrale:
$ -1/2 \int_-1^0 1/(1+x^2) d(x^2)$
Ora, l'integrale indefinito di $1/(1+x^2)$ è $arctgx$, in questo lo è oppure dato che il differenziale è $x^2$ allora il risultato è un logaritmo ?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte!
Ho riscontrato un problema con un integrale definito. Sia nell'applicazione teorica che nel risultato finale.
Allora, il testo dell'esercizio è:
$\int_0^-1 x/(1+x^2)dx$
L'estremo integrante superiore è più piccolo dell'inferiore. A tal proposito, dovrei mettere un $-$ prima dell'integrale ed invertirli:
$- \int_-1^0 x/(1+x^2)dx$
Qui già c'è la prima incongruenza, poichè nello svolgimento del libro non avviene una cosa del genere e va a risolvere l'integrale come un qualsiasi integrale definito in [a, b]. A tal proposito vi chiedo: ho sbagliato io e quindi non sempre si applica questa regola?
Un altro punto è nello svolgimento.
Porto la x del numeratore nel differenziale, portando subito dopo l' $1/2$ della derivata fuori dal segno di integrale:
$ -1/2 \int_-1^0 1/(1+x^2) d(x^2)$
Ora, l'integrale indefinito di $1/(1+x^2)$ è $arctgx$, in questo lo è oppure dato che il differenziale è $x^2$ allora il risultato è un logaritmo ?
Vi ringrazio in anticipo per le risposte!
Risposte
Auguri e buon anno anche a te 
Per gli estremi di integrazione, ho provato a calcolare sia invertendoli e mettendo il segno meno che senza ed il risultato è identico, quindi anche il tuo procedimento è ok... mentre per il calcolo della primitiva io fare in questo modo:
$int x/(1+x^2)dx$
Pongo $t=x^2$ da cui ricavo $dx=dt/(2x)$ e quindi l'integrale diventa:
$1/2 int 1/(1+t)dt$
$1/2log|1+t|+c$, quindi ottengo: $1/2log|1+x^2|+c$, però essendo $1+x^2>0 AA x in RR$ scrivo $1/2log(1+x^2)+c$
Per gli estremi di integrazione, ho provato a calcolare sia invertendoli e mettendo il segno meno che senza ed il risultato è identico, quindi anche il tuo procedimento è ok... mentre per il calcolo della primitiva io fare in questo modo:
$int x/(1+x^2)dx$
Pongo $t=x^2$ da cui ricavo $dx=dt/(2x)$ e quindi l'integrale diventa:
$1/2 int 1/(1+t)dt$
$1/2log|1+t|+c$, quindi ottengo: $1/2log|1+x^2|+c$, però essendo $1+x^2>0 AA x in RR$ scrivo $1/2log(1+x^2)+c$
Io continuo a non trovarmi col risultato del libro, che è $log sqrt(2)$
Ragazzi non ho il risultato di un esercizio che ho appena fatto, potreste dirmi se è fatto bene?
Lo metto in spoiler.
Lo metto in spoiler.
c'è qualcosa che non va ....
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sqrt x\cdot \sin \sqrt x \,\,dx \end{align*}
considerando la sostituzione
\begin{align*} \sqrt x=t\quad\to\quad x=t^2 \quad\to\quad dx=2t dt\end{align*}
ottieni:
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sqrt x\cdot \sin \sqrt x \,\,dx &= \int_{0}^{2\pi} t\cdot \sin t \cdot 2t dt= 2\cdot \int_{0}^{2\pi} t^2\cdot \sin t \,\, dt=2\cdot \int_{0}^{2\pi} t^2 \cdot d\left(-\cos t\right)\\
&=-2\cdot \int_{0}^{2\pi} t^2 \cdot d\left(\cos t\right)\stackrel{\bf (P)}{=}-2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}+2\int_{0}^{2\pi}\cos t\cdot d\left( t^2 \right)\\
&= -2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}+2\int_{0}^{2\pi}\cos t\cdot d\left( t^2 \right)= -2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}+4\int_{0}^{2\pi}t\cdot\cos t\cdot dt\\
&= -2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}+4\int_{0}^{2\pi}t\,\,d\left(-\sin t\right)=-2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}-4\int_{0}^{2\pi}t\,\,d\left(\sin t\right)\\
&\stackrel{\bf (P)}{=}-2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}-4\left[t \cdot\sin t\right]_{0}^{2\pi}+4\int_{0}^{2\pi}\sin t\,\,dt\\
&=-2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}-4\left[t \cdot\sin t\right]_{0}^{2\pi}-4\left[\cos t\right]_{0}^{2\pi}\\
&=-2\left[x\cdot \cos \sqrt x\right]_{0}^{2\pi}-4\left[\sqrt x \cdot\sin \sqrt x\right]_{0}^{2\pi}-4\left[\cos \sqrt x\right]_{0}^{2\pi}\\
&=...=4\sqrt {2\pi}\sin\sqrt {2\pi}-4(\pi-1)\cos \sqrt {2\pi}-4\sim 8.8 \end{align*}
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sqrt x\cdot \sin \sqrt x \,\,dx \end{align*}
considerando la sostituzione
\begin{align*} \sqrt x=t\quad\to\quad x=t^2 \quad\to\quad dx=2t dt\end{align*}
ottieni:
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sqrt x\cdot \sin \sqrt x \,\,dx &= \int_{0}^{2\pi} t\cdot \sin t \cdot 2t dt= 2\cdot \int_{0}^{2\pi} t^2\cdot \sin t \,\, dt=2\cdot \int_{0}^{2\pi} t^2 \cdot d\left(-\cos t\right)\\
&=-2\cdot \int_{0}^{2\pi} t^2 \cdot d\left(\cos t\right)\stackrel{\bf (P)}{=}-2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}+2\int_{0}^{2\pi}\cos t\cdot d\left( t^2 \right)\\
&= -2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}+2\int_{0}^{2\pi}\cos t\cdot d\left( t^2 \right)= -2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}+4\int_{0}^{2\pi}t\cdot\cos t\cdot dt\\
&= -2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}+4\int_{0}^{2\pi}t\,\,d\left(-\sin t\right)=-2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}-4\int_{0}^{2\pi}t\,\,d\left(\sin t\right)\\
&\stackrel{\bf (P)}{=}-2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}-4\left[t \cdot\sin t\right]_{0}^{2\pi}+4\int_{0}^{2\pi}\sin t\,\,dt\\
&=-2\left[t^2\cdot \cos t\right]_{0}^{2\pi}-4\left[t \cdot\sin t\right]_{0}^{2\pi}-4\left[\cos t\right]_{0}^{2\pi}\\
&=-2\left[x\cdot \cos \sqrt x\right]_{0}^{2\pi}-4\left[\sqrt x \cdot\sin \sqrt x\right]_{0}^{2\pi}-4\left[\cos \sqrt x\right]_{0}^{2\pi}\\
&=...=4\sqrt {2\pi}\sin\sqrt {2\pi}-4(\pi-1)\cos \sqrt {2\pi}-4\sim 8.8 \end{align*}
"Mr.Mazzarr":
Io continuo a non trovarmi col risultato del libro, che è $log sqrt(2)$
Beh in teoria dovrebbe tornarti...
$-int_(-1)^(0) x/(1+x^2)dx$
$-1/2 int_(-1)^(0) (2x)/(1+x^2)dx$
$[-1/2log(1+x^2)]_(-1)^(0)$
$-1/2log(1+0)+1/2log(1+1)$
$1/2log(2)$
Per le proprietà dei logaritmi:
$log(2^(1/2))=log(sqrt(2))$
"Noisemaker":
c'è qualcosa che non va ....
...
Portare il $sqrt(x)$ è sbagliato?
no ma portare $\sqrt x$ dentro il differenziale significa trovarsi poi nella forma
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sqrt x\cdot \sin \sqrt x \,\,dx = \int_{0}^{2\pi} \sin \sqrt x \,\,d\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)= \frac{2}{3}\int_{0}^{2\pi} \sin \sqrt x \,\,d\left(x^{3/2}\right) \end{align*}
ed invecie di semplificare, ti sei andato a comlicare la vita
\begin{align*} \int_{0}^{2\pi} \sqrt x\cdot \sin \sqrt x \,\,dx = \int_{0}^{2\pi} \sin \sqrt x \,\,d\left(\frac{2}{3}x^{3/2}\right)= \frac{2}{3}\int_{0}^{2\pi} \sin \sqrt x \,\,d\left(x^{3/2}\right) \end{align*}
ed invecie di semplificare, ti sei andato a comlicare la vita
Giusto, perché ogni volta che porto un elemento nel differenziale lo devo integrare.
Comunque nel tuo primo post mi sa che hai commesso un errore. Nel secondo passaggio da $t$ hai scritto $t^2$.
Oltre al fatto che è un casino assurdo, non c'ho capito molto
Comunque nel tuo primo post mi sa che hai commesso un errore. Nel secondo passaggio da $t$ hai scritto $t^2$.
Oltre al fatto che è un casino assurdo, non c'ho capito molto
$t\cdot t=t^2$ .... La scrittura \begin{align*}\stackrel{\bf (P)}{=}\end{align*} sta ad indicare che ho applicato l'itegrazione per parti
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