Integrazione con Teo. Residui
Salve ragazzi , mi sono inscritto da poco quindi scusate eventuali errori .
Sto svolgendo alcuni esercizi di preparazione all'esame di Metodi Matematici per Ingegneria , quando mi sono imbattuto in questo integrale \(\ int_(0)^(2\pi) (e^{-jt}cos(t) )/ (2e^{jt}-1 )\ \text{d} z \)
Ho fatto le dovute trasformazioni e ho trovato i seguenti poli z=0 e z=1/2 entrambi del primo ordine. Ora il mio vero dubbio è relativo al numeratore dove mi compare un z^2+1 (se non ho sbagliato i conti) , ora devo considerare due poli complessi e coniugati + e - j ? se si, nel teo dei Residui devo calcolarli come 1/2 il Residuo in j ? Dato che si trova sulla circonferenza ? grazie in anticipo .
Sto svolgendo alcuni esercizi di preparazione all'esame di Metodi Matematici per Ingegneria , quando mi sono imbattuto in questo integrale \(\ int_(0)^(2\pi) (e^{-jt}cos(t) )/ (2e^{jt}-1 )\ \text{d} z \)
Ho fatto le dovute trasformazioni e ho trovato i seguenti poli z=0 e z=1/2 entrambi del primo ordine. Ora il mio vero dubbio è relativo al numeratore dove mi compare un z^2+1 (se non ho sbagliato i conti) , ora devo considerare due poli complessi e coniugati + e - j ? se si, nel teo dei Residui devo calcolarli come 1/2 il Residuo in j ? Dato che si trova sulla circonferenza ? grazie in anticipo .
Risposte
"van vince":
Ho fatto le dovute trasformazioni e ho trovato i seguenti poli z=0 e z=1/2 entrambi del primo ordine. Ora il mio vero dubbio è relativo al numeratore dove mi compare un z^2+1 (se non ho sbagliato i conti)
Posta i conti.
"Seneca":
[quote="van vince"]Ho fatto le dovute trasformazioni e ho trovato i seguenti poli z=0 e z=1/2 entrambi del primo ordine. Ora il mio vero dubbio è relativo al numeratore dove mi compare un z^2+1 (se non ho sbagliato i conti)
Posta i conti.[/quote]
\(\ cos(x)= (e^{jx}+e^{-jx})/2 \) ho posto poi \(\ e^{jx}=z \), quindi ho trovato questo integrale \(\int_(0)^(2\pi) (z(z+1/z))/(2(2z-1))\ \text{d} z/jz \) . Ho svolto il prodotto al numeratore trovandomi \(\ z^2 +1 \) trovando poi i poli che ho citato in precedenza .
$1/(2 j) * int_(\partial B_1(0)) (1 + z^2)/(z^2 ( 2 z - 1)) * 1/z dz$
$f(z) = (1 + z^2)/(z^3 ( 2 z - 1)) $ ha un polo di ordine $1$ ed uno di ordine $3$.
In un disco $Delta$ centrato in $z = 1/2$ di raggio sufficientemente piccolo, $g(z) = (1 + z^2)/z^3$ è una funzione analitica e sia $g(z)_(|Delta) = sum_(n=0)^(+oo) b_n (z - 1/2)^n$ la sua serie di Taylor. Nota che $b_0 = g(1/2) = 10$, quindi $f(z) = 1/(2 z - 1) * ( 10 + sum_(n=1)^(+oo) b_n (z - 1/2)^n ) = 5/(z - 1/2) + sum_(n=1)^(+oo) b_n (z - 1/2)^(n-1)$.
Se non ho sbagliato, $Res(f, 1/2) = 5$. Analogamente (ma con un po' più di attenzione..) si può calcolare il residuo di $f$ in $0$.
$f(z) = (1 + z^2)/(z^3 ( 2 z - 1)) $ ha un polo di ordine $1$ ed uno di ordine $3$.
In un disco $Delta$ centrato in $z = 1/2$ di raggio sufficientemente piccolo, $g(z) = (1 + z^2)/z^3$ è una funzione analitica e sia $g(z)_(|Delta) = sum_(n=0)^(+oo) b_n (z - 1/2)^n$ la sua serie di Taylor. Nota che $b_0 = g(1/2) = 10$, quindi $f(z) = 1/(2 z - 1) * ( 10 + sum_(n=1)^(+oo) b_n (z - 1/2)^n ) = 5/(z - 1/2) + sum_(n=1)^(+oo) b_n (z - 1/2)^(n-1)$.
Se non ho sbagliato, $Res(f, 1/2) = 5$. Analogamente (ma con un po' più di attenzione..) si può calcolare il residuo di $f$ in $0$.
Grazie mille per le risposte molto rapide.
Tutto molto più chiaro. L'unica cosa che vorrei chiederti è , non posso calcolare i residui con il metodo "classico" invece di utilizzare lo sviluppo in serie come hai fatto tu ?
P.S. non sono riuscito a scriverla meglio sorry
\(\ 1// ( k-1 ) \) \(\lim_(z -> z0) \) \(\ (d)^(( k-1 ))//(dz)^(( k-1 )) \) \(\ (( z-z0 ))^(k) \) \(\ \text{f(z)}\ \)
Tutto molto più chiaro. L'unica cosa che vorrei chiederti è , non posso calcolare i residui con il metodo "classico" invece di utilizzare lo sviluppo in serie come hai fatto tu ?
P.S. non sono riuscito a scriverla meglio sorry
\(\ 1// ( k-1 ) \) \(\lim_(z -> z0) \) \(\ (d)^(( k-1 ))//(dz)^(( k-1 )) \) \(\ (( z-z0 ))^(k) \) \(\ \text{f(z)}\ \)
Certo che puoi. Anzi, come esercizio ti consiglio di farlo per vedere se ottieni lo stesso risultato.
Per scrivere le formule: clicca [cita] sul bordo superiore del mio precedente post per imparare la sintassi.
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