Integrazione con il metodo dei Residui
Salve ragazzi,
qualcuno di voi conosce, dove posso trovare una spiegazione.... molto schematica
... di come si possono risolvere gli integrali con il metodo dei residui?
(sia utilizzando i lemmi sia con altre considerazioni)
vi ringrazio dell'aiuto.... mi potreste salvare la vita
P.S.
con un attenzione particolare ai casi in cui occorre sviluppare in serie
qualcuno di voi conosce, dove posso trovare una spiegazione.... molto schematica
... di come si possono risolvere gli integrali con il metodo dei residui?(sia utilizzando i lemmi sia con altre considerazioni)
vi ringrazio dell'aiuto.... mi potreste salvare la vita
P.S.
con un attenzione particolare ai casi in cui occorre sviluppare in serie
Risposte
Nessuno mi sa aiutare???? 
ok... allora vi faccio un esempio più pratico
l'integrale $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan x}\ dx $ se sviluppo in serie la tangente... attorno a quale punto devo svilupparla? $ -\pi/4$ o $0$ ?
e poi cosa devo fare?.... avrò qualcosa del tipo $ 1/ f(x) $
forse devo mettere solo in evidenza la x in modo da avere qualcosa del tipo $ \frac {1} {x^n ( a/x + b/x^2 + ....)}$ ?
"a" sarebbe il mio residuo?
ok... allora vi faccio un esempio più pratico
l'integrale $ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan x}\ dx $ se sviluppo in serie la tangente... attorno a quale punto devo svilupparla? $ -\pi/4$ o $0$ ?
e poi cosa devo fare?.... avrò qualcosa del tipo $ 1/ f(x) $
forse devo mettere solo in evidenza la x in modo da avere qualcosa del tipo $ \frac {1} {x^n ( a/x + b/x^2 + ....)}$ ?
"a" sarebbe il mio residuo?
"Tannu":
$\int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{1}{1+\tan x}\ dx $
Per $x\to -\pi/4$ è
$\frac{1}{1+\tan x}\sim 1/2 1/{x+\pi/4}$,
quindi $\frac{1}{1+\tan x}$ non è integrabile in un intorno di $-\pi /4$.
ma se lo sviluppo viene fatto in questo modo, $-\pi/4$ mi sembra un polo del primo ordine. Nel caso di un polo del primo ordine il residuo è uguale a: $\lim_{x \to x_0} f(x) (x-x_0)$.... e facendo il $\lim_{x \to -\pi/4}1/2 \frac {1}{x + \pi/4}(x+\pi/4)$ mi risulta che il residuo è $1/2$
"Tannu":
:-k ma se lo sviluppo viene fatto in questo modo, $-\pi/4$ mi sembra un polo del primo ordine.
Il problema è che quell'integrale non è definito perchè la funzione integranda non è integrabile in $[-\pi/2,\pi/2]$.
"ficus2002":
Il problema è che quell'integrale non è definito perchè la funzione integranda non è integrabile in $[-\pi/2,\pi/2]$.
Non è integrabile tra i reali, ma tra i complessi penso che lo sia.
possiede solo un polo in $-\pi/4$ se applico il metodo dei residui il valore dell'integrale dovrebbe essere $\pi i$
perché non dovrebbe essere integrabile?
"Tannu":
Non è integrabile tra i reali, ma tra i complessi penso che lo sia.
perché non dovrebbe essere integrabile?
Stai comunque calcolando l'integrale sull'intervallo reale $[-\pi/2.\pi/2]$. La funzione
$f(x)=1/(1+tan x)$
è definita e continua in $(-\pi/2,-\pi/4)\cup (-\pi/4,\pi/2)$. Tuttavia può essere estesa con continuità in $[-\pi/2,-\pi/4)\cup (-\pi/4,\pi/2]$ ponendo $f(-\pi/2):=0$ e $f(\pi/2):=0$.
La funzione $f$ è integrabile (secondo Riemann) in $[-\pi/2.\pi/2]$, se è integrabile in senso improprio negli intervalli $[-\pi/2,-\pi/4)$ e $(-\pi/4,\pi/2]$.
Ma $f(x)\sim 1/2 1/(x+\pi/4)$, quindi $f$ non è integrabile in senso improprio in nessuno deli due intervalli.
In pratica
$lim_{\alpha\to(-\pi/4)^-} \int_{-\pi/2}^{\alpha}f=-oo$
$lim_{\beta\to(-\pi/4)^+} \int_{\beta}^{\pi/2}f=oo$
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