Integrazione che porta ad assurdo

[Meringolo1]

Salve a tutti.

Calcolando L'integrale indefinito di $tan(x)$ per parti ho:


$\int \tan (x)\ dx$ =$\int sinx \frac{1}{cosx} dx$

=$[(-cosx) \frac{1}{cosx}] - \int (-cosx) (-\frac{-sinx}{cos^2x}) dx$

Ora
$(-cosx) \frac{1}{cosx} = -1$

Mentre nell'integrale

$- \int (-cosx) (-\frac{-sinx}{cos^2x}) dx$

semplifico$(-cosx)$ con $cos^2 x$ del denominatore e mi rimane


$- \int (\frac{-sinx}{cosx}) dx$

cioè

$\int tan(x)= -1 - \int -tan(x) dx$

che diventa

$\int tan(x) = -1 + \int tan (x) dx$

Portando a primo membro ho:

$\int tan(x) - \int tan(x) = -1$

cioè $0=-1$

Dove sta l'errore?

In realtà ho dei dubbi sulla semplificazione [tex](-cosx)[/tex] con [tex]cos^2 x[/tex], in quanto non conosco il segno di [tex]cosx[/tex] ma quello al denominatore è sempre positivo essendo al quadrato.

So che alla base c'è un errore banale ma proprio per questo vorrei non commetterlo in altre occasioni ( e soprattutto vorrei sapere qual'è )

Grazie

[Noisemaker]

io farei semplicemente cosi

\begin{align}
\int \tan x\,\,\,dx=\int \frac{\sin x}{\cos x}\,\,\,dx=\int\frac{1}{\cos x}\,\,\,d\left(-\cos x\right)\stackrel{\cos x =t}{=}-\int\frac{1}{t}\,\,\,dt=-\ln| t|\stackrel{\cos x =t}{=}-\ln |\cos x|+c
\end{align}

[theras]

@Meringolo.
Ma sopratutto direi che c'è un'errore concettuale abbastanza grave:
quella semplificazione
(ancorchè "sbagliata" perchè t'è scappato un $-$ di troppo quando hai applicato il metodo d'integrazione per parti..)
è illegittima perchè la stai applicando su insiemi di funzioni
(quali gli integrali indefiniti sono,e tra insiemi non vale la "legge di cancellazione"..),
e non su specifiche primitive!
Saluti dal web.

[Meringolo1]

@ theras
Quindi non si semplifica "sotto integrale" giusto?
Perdonami ma non trovo il - di troppo che dici.

@ noisemaker
Lo so che si può fare in tanti modi, ma volevo capire l'errore di questo.

Grazie a tutti e due

[theras]

"Meringolo":
Quindi non si semplifica "sotto integrale" giusto?
Perdonami ma non trovo il - di troppo che dici.

Invece si,puoi farlo se ti trovi nelle giuste condizioni per approcciare l'operazione col dovuto formalismo
(ad esempio qualcosa simile a quanto da te fatto è legittima,con gli indispensabili accorgimenti,
quando calcoli per parti una primitiva di $e^x"sen"x$..):
in questo caso non le hai,e per ottenere la ts che avevi in mente,
hai implicitamente compiuto la forzatura di considerare legittima l'implicazione $AuuB=AuuCrArrB=C$,
che è palesamente falsa(e quando ti vien comodo magari potrai spiegarci perchè ..)!
L'errore di segno,infine,lo hai compiuto quando hai scritto $=.." "-int(-"cos"x)(-(-"sen"x)/("cos"^2x))dx$:
saluti dal web.

[Meringolo1]

Mi accorgo che nella semplificazione di prima

$(-cosx)$ con $x^2$

intendevo ovviamente semplificare

$(-cosx)$ con $cos^2x$.

Perdonami se ti chiedo di essere più esplicito nella spiegazione, ma proprio non riesco a capire la differenza che c'è nello scrivere

$-\int tan x dx$ e

$ \int (-cosx) (-\frac{-sinx}{cos^2x}) dx$

Non sto scrivendo forse la stessa cosa?

[theras]

Si,certo:
era scappato a me un meno(quello del numeratore della funzione integranda dopo aver integrato per parti),
ma quel che conta è che il "baco" del tuo ragionamento stà nella tua "semplificazione" tra famiglie d'insiemi..
Saluti dal web.

[Meringolo1]

"theras":
ma quel che conta è che il "baco" del tuo ragionamento stà nella tua "semplificazione" tra famiglie d'insiemi..

é proprio questo che sto cercando di capire (alla fine un segno meno importa relativamente)

Quando scrivo$-\int tan x dx$
e scrivo

$ \int (-cosx) (-\frac{-sinx}{cos^2x}) dx$

sto dunque scrivendo due cose diverse se quella semplificazione non è lecita??

[laura1232]

Il problema è che $\int f(x)dx$ rappresenta un insieme di funzioni.. se ti trovi davanti a $\int f(x)dx=g(x)-\int f(x)dx$ puoi dimostrare che il passaggio formale di portare l'integrale al primo membro e ottenere $2\int f(x) dx=g(x)+k$ è valido usando le inclusioni insiemistiche..quello che hai al primo membro è un prodotto di un numero per un insieme..il significato di tale operazione è solo simbolica... invece se hai $\int f(x)dx=g(x)+\int f(x)dx$ i procedimenti usati precedentemente non funzionano.. secondo me la pecca nel tuo ragionamento stà nel portare l'integrale al primo membro invece (sempre secondo me) i due integrali che dici tu sono uguali. Correggetemi se sbaglio

[Meringolo1]

Penso di aver capito che è un problema intrinseco dell'integrazione per parti applicata ad un integrale indefinito.

Se la stessa integrazione per parti la applico ad un integrale - stavolta con estremi di integrazione - , non ho problemi, anche facendo la semplificazione che pensavo fosse forzata.
Dunque il problema non stava in quella semplificazione.

$\int_a^b tan(x)dx =$

$ \int_a^b sinx (1/cosx) dx$

$ [(-cosx) 1/cosx]_a^b - \int_a^b (-cosx) (-(-sinx)/(cos^2x)) dx$

$ [(-cosx)/cosx]_a^b - \int_a^b ((-sinx)/cosx) dx$

$ [(-cosb)/cosb] - [(-cosa)/cosa]- \int_a^b ((-sinx)/cosx) dx$

$ -1 +1 + \int_a^b tan x dx$

cioè

$\int_a^b tan(x)dx = 0 + \int_a^b tan (x) dx$

il che sarà pure la scoperta dell'acqua calda , ma almeno è un risultato vero.

In generale, usando l'integrazione per parti su un integrale indefinito, si avranno problemi ogni volta che si ha

$\int f(x)*g(x) dx $

con $f(x)$ e $g(x)$ tali che

$g(x) = 1/(f^1(x)$

Infatti $\int f(x)*1/(f^1(x)) dx =$

$[f^1(x)*1/(f^1(x))] - \intf^1(x)*G(x) dx$

$[(f^1(x))/(f^1(x))] - \intf^1(x)*G(x) dx$

Quando vado a semplificare quella frazione con numeratore e denominatore uguali, mi rimane un numero, ma quando ho gli estremi di integrazione, quel numero si annulla quando faccio la differenza tra i due estremi.

Quindi in un integrale definito avrò

$\int_a^b f(x) dx = 0 + \int_a^b f(x)$ (che è pur sempre vero)

mentre con un integrale indefinito avrò

$\int f(x) dx = n + \int f(x)$ (che è un assurdo)

[Riccardo Desimini]

"Meringolo":$\int \tan (x)\ dx$ =$\int sinx \frac{1}{cosx} dx = [(-cosx) \frac{1}{cosx}] - \int (-cosx) (-\frac{-sinx}{cos^2x}) dx$

Ora
$(-cosx) \frac{1}{cosx} = -1$

Mentre nell'integrale

$- \int (-cosx) (-\frac{-sinx}{cos^2x}) dx$

semplifico$(-cosx)$ con $cos^2 x$ del denominatore e mi rimane


$- \int (\frac{-sinx}{cosx}) dx$

cioè

$\int tan(x)= -1 - \int -tan(x) dx$

che diventa

$\int tan(x) = -1 + \int tan (x) dx$

Fino a qui è tutto ok.

"Meringolo":Portando a primo membro ho:

$\int tan(x) - \int tan(x) = -1$

cioè $0=-1$

Dove sta l'errore?

È proprio qui. Non è vero che
\[ \int \tan x\, \text{d}x - \int \tan x\, \text{d}x = 0 \]
Le primitive di una stessa funzione differiscono tra di loro per una costante.

Ma facciamo le cose per bene.

Abbiamo
\[ \int \tan x\, \text{d}x = -1 + \int \tan x\, \text{d}x \]
cioè
\[ \int \tan x\, \text{d}x - \int \tan x\, \text{d}x = -1 + \int \tan x\, \text{d}x - \int \tan x\, \text{d}x \]
Osserviamo ora che l'uguaglianza appena scritta equivale a
\[ \int 0\, \text{d}x = -1 + \int 0\, \text{d}x \]
Dunque
\[ C = -1 + D \]
dove \( C,\, D \in \mathbb{R} \).

Per quanto riguarda l'integrale definito, invece, la semplificazione è più che legittima (e infatti ti viene un risultato coerente) perché il suo significato è profondamente diverso: esso rappresenta, laddove esiste, un numero univocamente determinato (dalla funzione integranda e dagli estremi di integrazione).

[Meringolo1]

Grazie Riccardo, ora mi è chiaro

Grazie anche a laura e theras che c'erano arrivati prima di me