Integrazione analisi complessa
Ciao ragazzi !
Sto cercando di risolvere questo problema di analisi complessa.
Si consideri nel piano complesso il rettangolo: $ R={z=x+iy; $ $ a
con a,b,c,d, reali e si calcoli l'integrale sul bordo $ delR $ orientato in senso antiorario, della seguente funzione:
$ f_1(z)=z^2 $
Come soluzione, il libro mi dice che l'integrale di una funzione sul bordo si compone di 4 integrazioni distinte sui lati del rettangolo, e poi procede cosi..
$ oint_(delR) f(z)dz = int_(AB)f(z)dz + int_(BC)f(z)dz + int_(CD)f(z)dz + int_(DA)f(z)dz= $
= $ int_a^bf(x+ic)dx + int_c^df(b+iy)idy +int_b^af(x+id)dx + int_d^cf(a+iy)idy $
Ecco, io non ho capito l'ultimo passaggio; va bene che alla variabile z gli sostituisce $ x+iy $, ma perchè ad esempio nel primo integrale sostituisce solo la "C" in modo che venga $ x + ic $ ? Nel secondo solo la "b" cosi viene $(b+iy)i $ Così anche per gli altri...
Vi ringrazio per la risposta
Sto cercando di risolvere questo problema di analisi complessa.
Si consideri nel piano complesso il rettangolo: $ R={z=x+iy; $ $ a
con a,b,c,d, reali e si calcoli l'integrale sul bordo $ delR $ orientato in senso antiorario, della seguente funzione:
$ f_1(z)=z^2 $
Come soluzione, il libro mi dice che l'integrale di una funzione sul bordo si compone di 4 integrazioni distinte sui lati del rettangolo, e poi procede cosi..
$ oint_(delR) f(z)dz = int_(AB)f(z)dz + int_(BC)f(z)dz + int_(CD)f(z)dz + int_(DA)f(z)dz= $
= $ int_a^bf(x+ic)dx + int_c^df(b+iy)idy +int_b^af(x+id)dx + int_d^cf(a+iy)idy $
Ecco, io non ho capito l'ultimo passaggio; va bene che alla variabile z gli sostituisce $ x+iy $, ma perchè ad esempio nel primo integrale sostituisce solo la "C" in modo che venga $ x + ic $ ? Nel secondo solo la "b" cosi viene $(b+iy)i $ Così anche per gli altri...
Vi ringrazio per la risposta
Risposte
Ciao fede,
hai provato a parametrizzare i 4 segmenti?
Ad esempio, nel primo integrale:
\[ \displaystyle AB : \left \{ \begin{array}{ll}
x=t & t \in[a,b]\\
y=c & \\
\end{array} \right. \]
e così via per gli altri.
hai provato a parametrizzare i 4 segmenti?
Ad esempio, nel primo integrale:
\[ \displaystyle AB : \left \{ \begin{array}{ll}
x=t & t \in[a,b]\\
y=c & \\
\end{array} \right. \]
e così via per gli altri.
Ah... dici che li parametrizza? Ma perchè proprio nel primo scegli y= c e non y = d ? Alla fine è quello che che non capisco...
Potresti spiegare un po' meglio che intendi? La scelta non è casuale: ha parametrizzato i 4 segmenti in modo da percorrere il perimetro dell'intero rettangolo in verso antiorario.. forse però non ho capito quale sia il tuo dubbio..
Allora,
la prima integrazione si svolge sul tratto AB giusto?
ecco... come fa a dire che in quel tratto $ z = x+ic $ ? C è qualcosa che resta costante se vado da A a B ?
la prima integrazione si svolge sul tratto AB giusto?
ecco... come fa a dire che in quel tratto $ z = x+ic $ ? C è qualcosa che resta costante se vado da A a B ?
Quando integri lungo il segmento $AB$ (e $CD$) la $y$ resta costantemente pari a $c$ (e $d$). Lungo i segmenti $BC$ e $AC$ è invece la $x$ a restare fissa ai valori $b$ ed $a$ rispettivamente. Spero che il disegno ti aiuti a visualizzare meglio il problema 
DelCrossB ti ringrazio molto !
Col disegno è tutto più chiaro
grazie mille veramente 
Col disegno è tutto più chiaro
grazie mille veramente
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo