Integrazione
Ciao. Mi aiutate perfavore a risolvere questo problema?
Sia D un sottoinsieme misurabile di $RR^N$ e sia ${f_n}_{n in NN}$ una successione di funzioni misurabili definite du D tali che $g<=f_n<=f_(n+1)$ q.o. in D $AA n in NN$, ove g è una funzione sommabile su D.
Si provi che $lim_(n to infty)int_D f_n dx=int_Df dx$.
Coincide "q.o." con il teorema di Beppo Levi tranne che le $f_n$ sono limitate dal basso da una funzione sommabile invece che da 0. Vorrei allora provare a riciclare la dimostrazione di Beppo Levi adattandola.
Posto $AA n in NN$ $P_n$ l'insieme di D in cui $f_n>f_(n+1)$ e $P=U_inftyP_n$, P per ipotesi ha misura nulla. In D-P è ben definito il limite puntuale di ${f_n}$, sia questo f. Posso allora estendere f a tutto D preservando la misurabilità e il valore dell'integrale.
Il limite della successione integrale esiste perchè:
$AAn in NN$ $int_Df_ndx=int_(D-P)f_ndx<=int_(D-P)f_(n+1)dx=int_Df_(n+1)dx$ e per monotonia questa succ ha limite e si ha:
$lim_(n to infty)int_Df_ndx<=int_Dfdx$.
Ora devo provare la disuguaglianza opposta. Nella dimostrazione del teo di Beppo Levi si considerano funzioni semplici ma io a priori non so come si comporti f. In teoria potrebbe essere negativa almeno in certi punti.
Qualche aiuto?
Sia D un sottoinsieme misurabile di $RR^N$ e sia ${f_n}_{n in NN}$ una successione di funzioni misurabili definite du D tali che $g<=f_n<=f_(n+1)$ q.o. in D $AA n in NN$, ove g è una funzione sommabile su D.
Si provi che $lim_(n to infty)int_D f_n dx=int_Df dx$.
Coincide "q.o." con il teorema di Beppo Levi tranne che le $f_n$ sono limitate dal basso da una funzione sommabile invece che da 0. Vorrei allora provare a riciclare la dimostrazione di Beppo Levi adattandola.
Posto $AA n in NN$ $P_n$ l'insieme di D in cui $f_n>f_(n+1)$ e $P=U_inftyP_n$, P per ipotesi ha misura nulla. In D-P è ben definito il limite puntuale di ${f_n}$, sia questo f. Posso allora estendere f a tutto D preservando la misurabilità e il valore dell'integrale.
Il limite della successione integrale esiste perchè:
$AAn in NN$ $int_Df_ndx=int_(D-P)f_ndx<=int_(D-P)f_(n+1)dx=int_Df_(n+1)dx$ e per monotonia questa succ ha limite e si ha:
$lim_(n to infty)int_Df_ndx<=int_Dfdx$.
Ora devo provare la disuguaglianza opposta. Nella dimostrazione del teo di Beppo Levi si considerano funzioni semplici ma io a priori non so come si comporti f. In teoria potrebbe essere negativa almeno in certi punti.
Qualche aiuto?
Risposte
Non mi convince tanto la tua dim... Prova invece ad applicare il teorema di B. Levi alla successione ${f_n - g}$...
Ok. Cioè arrivo a dire che
$lim_(n to infty)int_D(f_n-g)dx=int_D(f-g)dx$ e uso l'ipotesi che g sia sommabile per semplificare l'integrale di g. Giusto?
$lim_(n to infty)int_D(f_n-g)dx=int_D(f-g)dx$ e uso l'ipotesi che g sia sommabile per semplificare l'integrale di g. Giusto?
Giusto! 
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