Integrazione 3

[fran881]

Scusate se rompo ma sono insicura:

Sia f una funzione sommabile su $RR^N$. Provare che $AA epsilon>0$ esiste un compatto $K sub RR^N$ tale che $int_(K^C)|F|dx Ho fatto così:
Se f è sommabile anche |f| è sommabile.
cioè $int_(RR^N)|f|dx Definisco la successione $I_n=int_(Q(0,n))|f|dx$ dove Q(0,n) è il cubo N-dimensionale chiuso di centro 0 e lato n.
Allora la successione ${I_n}$ è positiva e monotona crescente per monotonia dell'integrale. Inoltre $I_n to I$ per $n to infty$ dove $I=int_(RR^N)|f|dx Allora ricordando le successioni numeriche si ha che $AAepsilon EE nu AAn>=nu (I-In) Torna? Grazie!

[alberto861]

non è detto che se f è sommabile lo sia anche il suo modulo è vero solo il contrario..per esempio ricordati che la serie di
$(-1)^n*1/n$ è convergente ma non assolutamente convergente quindi puoi costruire addirittura una funzione $C^k$ per ogni k con tale proprietà pensa ad una funzione nulla ovunque eccetto sugli interi dove la disegni triangolare in modo che ogni triangolo abbia area $1/n$ con la base sull'asse delle x e il terzo vertice nel semipiano positivo per gli interi pari e in quello negativo per i dispari.puoi smussare i vertici in modo che sia $C^k$ tale funzione ha integrale su $R$ dato dalla serie di prima per cui è sommabile ma non assolutamente sommabile..

[fran881]

Ma il fatto che f sia sommabile se e solo se |f| è sommabile è un lemma che ho precedentemente dimostrato. Quello che dici tu è vero per la misurabilità (almeno stando al mio libro...).
Infatti:
posto $f^+=max{f,0} e (f^-)=-min{f,0}$ una funzione misurabile qualsiasi si dice integrabile se almeno uno tra $intf^+dx$ e $int(f^-)dx$ è finito. in tal caso l'integrale di f è la differenza $intf^+dx-int(f^- )dx$. f si dice poi sommabile se ha integrale finito. Quindi se f è sommabile allora entrambi i "pezzi" (quello relativo a f+ e quello relativo a f-) devono essere finiti e quindi pure il modulo di f è sommabile perchè il suo integrale sarà la somma degli integrali di f+ ed f-. O sbaglio?
Cmq il mio libro lo dà per vero esplicitamente. Per quanto riguarda il tuo controesempio non ho capito come è fatta la funzione che dici.
Dato che è molto probabile che sia io a sbagliare dimmi dove grazie!!!

[Chevtchenko]

"fran88":Scusate se rompo ma sono insicura:

Sia f una funzione sommabile su $RR^N$. Provare che $AA epsilon>0$ esiste un compatto $K sub RR^N$ tale che $int_(K^C)|F|dx Ho fatto così:
Se f è sommabile anche |f| è sommabile.
cioè $int_(RR^N)|f|dx Definisco la successione $I_n=int_(Q(0,n))|f|dx$ dove Q(0,n) è il cubo N-dimensionale chiuso di centro 0 e lato n.
Allora la successione ${I_n}$ è positiva e monotona crescente per monotonia dell'integrale. Inoltre $I_n to I$ per $n to infty$ dove $I=int_(RR^N)|f|dx Allora ricordando le successioni numeriche si ha che $AAepsilon EE nu AAn>=nu (I-In) Torna? Grazie!

Perfetto, complimenti!

ps. ovviamente $f$ sommabile $iff$ $|f|$ sommabile

[alberto861]

la funzione che dico io pensala come dei triangolini messi così $..--^--v--^--v--^--v--^--v--^--v...$ ognuno di essi ha il vertice oscillante sugli interi e l'area di ogni triangolino vale $1/n$ dove n è l'intero su cui sta il vertice verticale..ora poichè il vertice verticale una volta è positivo e un'altra è negativo puoi pensare che ogni triangolo ha area$(-1)^n*1/n$ quindi l'integrale di tale funzione fino all'infinito è pari al valore della somma della serie avente per successione$(-1)^n*1/n$..quindi tale funzione è sommabile ma non è sommabile in valore assoluto perchè il suo modulo
$..--^--^--^--^--^...$ ha integrale pari alla somma della serie avente per successione $1/n$ che diverge..in conclusione non è sempre vero che sommabile implichi assolutamente sommabile..la definizione usata da te che usa le $f^+ f^-$ va bene ma le queste devono essere nulle per "parecchi valori" altrimenti l'integrale diverge capito il senso??

[Chevtchenko]

"alberto86":la funzione che dico io pensala come dei triangolini messi così $..--^--v--^--v--^--v--^--v--^--v...$ ognuno di essi ha il vertice oscillante sugli interi e l'area di ogni triangolino vale $1/n$ dove n è l'intero su cui sta il vertice verticale..ora poichè il vertice verticale una volta è positivo e un'altra è negativo puoi pensare che ogni triangolo ha area$(-1)^n*1/n$ quindi l'integrale di tale funzione fino all'infinito è pari al valore della somma della serie avente per successione$(-1)^n*1/n$..quindi tale funzione è sommabile ma non è sommabile in valore assoluto perchè il suo modulo
$..--^--^--^--^--^...$ ha integrale pari alla somma della serie avente per successione $1/n$ che diverge..in conclusione non è sempre vero che sommabile implichi assolutamente sommabile..la definizione usata da te che usa le $f^+ f^-$ va bene ma le queste devono essere nulle per "parecchi valori" altrimenti l'integrale diverge capito il senso??

Mica è sommabile questa funzione!

[alberto861]

come no??il suo integrale è pari alla somma della serie con successione $(-1)^n*1/n$ che è finito per i criterio di Leibnitz!!

[fran881]

non ho capito il senso... cioè nel caso della tua funzione che se ho capito ha i vertici dei triangolini in (n,1) opp (n,-1) e basi 1/n è nulla su un insieme di misura infinita. Perchè allora non torna?

[alberto861]

hai quasi capito..solo che non sono le basi ad avere lunghezza 1/n ma è il rettangolino che ha area 1/n..questa funzione è chiaramente continua ed integrabile solo che se la integro senza prenderne il valore assoluto cioè con i vertici verticali in (2n,1) (2n+1,-1) è sommabile mentre se la integro in modulo e quindi con tutti i vertici verticali in (n,1) non è più sommabile..questo dimostra che $f$ sommabile non implica $|f|$ sommabile chiaro??

[fran881]

ho provato a disegnarla e il fatto che un affare che dopo n=5 non si riesce nemmeno a disegnare tanto è piccolo possa dare un problema così grande mi manda in bestia.
Cmq allora perchè non torna con la definizione?

[ViciousGoblin]

Mica è sommabile questa funzione!

Concordo!

Si tratta di una funzione integrabile in senso improprio secondo Riemann che NON è integrabile secondo Lebesgue - se non erro tutta la discussione
verte sul'integrazione secondo Lebesgue.

[fran881]

@ ViciousGoblinEnters: avevo questa sensazione ma non so come dimostrarlo. Il mio libro fa un esempio a riguardo: dice che la funzione
$f(x)=senx/x$ se $x!=0$ e $f(x)=0$ se $x=0$ è integrabile secondo Riemann in senso improprio ma non è sommabile su R secondo Lebesgue. Purtroppo dà come suggerimento quello di usare il lemma di cui sopra cioè il fatto che f sommabile sse |f| sommabile. Quindi è un serpente che si mangia la coda...
ti sarei immensamente grata se volessi postare una dimostrazione completa o almeno una traccia. Sto diventando pazza...

[fran881]

Come non detto è semplice.
Se prendo la funzione quella con i triangolini uno verso l'alto e uno verso il basso e uso la definizione che ho detto prima allora sia l'integrale di f+ che l'integrale f- sono infiniti e quindi non si può definire l'integrale di f cioè f non è integrabile e tutto questo castello crolla.
Dopo 2 ore di panico tiro un sospiro di sollievo.
Grazie a tutti in ogni caso!

[Camillo]

La funzione $(sinx)/x $ è integrabile secondo Riemann in senso generalizzato sull'intervallo $ [0,+oo)$ e si trova, con tecniche di variabile complessa, che $int_0^(+oo) (sint*dt)/t =pi/2$.

La funzione $ (sinx)/x $ NON è invece sommabile sull'intervallo $ [0,+oo)$ perchè sia la parte negativa che quella positiva della funzione non sono sommabili .
Consideriamo ad esempio la parte positiva $ ((sinx)/x)^(+) $ , che coincide con $(sinx)/x $ su ciascuno degli intervalli $[2kpi,(2k+1)pi]$ , $k in NN $ ed è nulla nei restanti intervalli del semiasse reale positivo.
Quindi
$int_0^(+oo) ((sinx)/x)^(+)*dx=sum_(k=0)^(oo) int_(2kpi)^((2k+1)pi) (sinx*dx)/x $
essendo $ 2kpi <= x <= (2k+1)pi $ si ha che

$ int_(2kpi)^((2k+1)pi) (sinx*dx)/x > int_(2kpi)^((2k+1)pi) (sinx*dx)/((2k+1)pi) = 2/((2k+1)pi) $
e la serie avente come termine k-esimo l'ultimo rapporto è positivamente divergente.

[alberto861]

no con la definizione torna e il lemma che dici te che mi lascia perplesso..questo che ti ho dato io è solo un esempio e ve ne sono molti altri..

[fran881]

ma se leggi sopra ho messo la dimostrazione (a braccia) che il tuo controesempio non funziona...

[ViciousGoblin]

no con la definizione torna

Con QUALE definizione?