Integrazione

[dem1509]

Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi con l'integrazione della seguente equazione? Non si tratta di un esercizio per l'esame di analisi ma fa parte della teoria di un altro esame. Spero che qualcuno riesca ad aiutarmi.
$d/(dr) (r^2(dT)/(dr))=Zm(dT)/(dr)$

il risultato che si dovrebbe ottenere è il seguente:
$T(r)=C_1 exp(-(Zm)/r)/(Zm) + C_2$

Ho provato in vari modi ma non capisco come fare

[pilloeffe]

Ciao mate947,

Potresti derivare esplicitamente il primo membro, ottenendo così l'equazione differenziale seguente:

$ 2r T'(r) + r^2 T''(r) = Zm T'(r) $

$ r^2 T''(r) + (2r - Zm) T'(r) = 0 $

Oppure potresti direttamente porre $y(r) := (dT)/(dr) $ e ricondurti ad un'equazione differenziale del primo ordine (cosa che comunque si può fare anche una volta arrivati all'ultima equazione differenziale di Eulero-Cauchy che ti ho scritto): poi integrando trovi $ T = T(r) $

[mic999]

"mate947":Ciao a tutti!
Qualcuno potrebbe aiutarmi con l'integrazione della seguente equazione? Non si tratta di un esercizio per l'esame di analisi ma fa parte della teoria di un altro esame. Spero che qualcuno riesca ad aiutarmi.
$ d/(dr) (r^2(dT)/(dr))=Zm(dT)/(dr) $

il risultato che si dovrebbe ottenere è il seguente:
$ T(r)=C_1 exp(-(Zm)/r)/(Zm) + C_2 $

Ho provato in vari modi ma non capisco come fare

non si potrebbe fare cosi:
$ d/(dr) (r^2(dT)/(dr))=d/(dr) (ZmT) =>$ derivi e risolvi l'equazione diff $r^2 dT/{dr}=ZmT+c$...

[dem1509]

Grazie ad entrambi per la risposta! Anche io ho usato questo metodo facendo il seguente ragionamento:
$r^2 (dT)/(dr)=ZmT+C_1$
$(dT)/(ZmT+C_1)=(dr)/r^2$
$1/(Zm)ln(ZmT+C_1)=-1/r+C_2$
Fino a questo punto dovrebbe essere corretto, adesso però non so come rimaneggiare il tutto per arrivare all'espressione di T che ho scritto in precedenza.

[pilloeffe]

Beh, ma basta che usi la definizione di logaritmo...

$ ln(ZmT+C_1) = - (Zm)/r + c_2 $

ove $c_2 := mZ C_2 $

[dem1509]

"pilloeffe":Beh, ma basta che usi la definizione di logaritmo...

Il mio cervello oggi deve essere andato in fumo perché riesco a risolvere i problemi con le varie equazioni di conservazione dell'energia e simili ma non a trovare questa (semplice) espressione di T

[pilloeffe]

Dunque...

$ ln(ZmT+C_1) = - (Zm)/r + c_2 \implies exp( - (Zm)/r + c_2) = Zm T + C_1 $

Quindi si ha:

$ZmT = C_2 exp( - (Zm)/r) + C_1 \implies T = T(r) = k_1 frac{exp( - (Zm)/r)}{Zm} + k_2 $

Con le ovvie posizioni per le costanti (che, se ti piace di più, puoi anche richiamare di nuovo $C_1 $ e $C_2$... )

[dem1509]

"pilloeffe":Dunque...

$ ln(ZmT+C_1) = - (Zm)/r + c_2 \implies exp( - (Zm)/r + c_2) = Zm T + C_1 $

Quindi si ha:

$ZmT = C_2 exp( - (Zm)/r) + C_1 \implies T = T(r) = k_1 frac{exp( - (Zm)/r)}{Zm} + k_2 $

Con le ovvie posizioni per le costanti (che, se ti piace di più, puoi anche richiamare di nuovo $C_1 $ e $C_2$... )

Grazie!
Io mi perdevo con le varie $exp(C2)$ delle quali non sapevo cosa farmene