Integrare per sostituzione...si può fare così?

[fenix90]

ciao a tutti! questo è l'integrale da risolvere:

$\int_0^oo$ $1/(x(1+(ln(x))^2)) dx$ ...ora, mi è venuto questo dubbio... posso risolverlo per sostituzione mettendo $t=lnx$ e $x dt = dx$ ma sostituendo solo il logaritmo in modo che venga:

$\int_0^oo$ $x/(x(1+(t^2)))dt$ , in modo da semplificare le x e ottenere un integrale easy?

[Quinzio]

Si però nella seconda formula devi mettere tutte "t" e non un po' di x e un po' di t.

[fenix90]

"Quinzio":Si però nella seconda formula devi mettere tutte "t" e non un po' di x e un po' di t.

eh si infatti era questo il mio dubbio se potevo farlo o meno, dato che così facendo si annullavano le x hehe... comunque grazie!

[fenix90]

hmmm che poi pensandoci bene si annullano comunque mi pare

[Quinzio]

Si annullano e trovi la derivata dell'arctan

[ciampax]

Giusto per pignoleria: se effettui la sostituzione $\ln x=t$ allora $dt={dx}/x$ mentre si ha che $x=0\to t=-\infty,\ x=+\infty\to t=+\infty$ e pertanto l'integrale diventa

$\int_{-\infty}^{+\infty}{dt}/{1+t^2}$