Integrare la Gaussiana nel campo complesso
Salve a tutti!
Apro questo thread per avere dei chiarimenti riguardo all'integrale della Gaussiana svolto tramite integrali curvilinei nel campo complesso.
Non riesco a capire dove è l'errore nel mio calcolo e/o perchè non posso proprio fare il calcolo in questo modo.
Sia $ int_(-oo )^(+oo )e^(-x^2) dx = pi ^(1/2) $
Pongo $ f(z)=e^(-z^2) $ e chiamo $ gamma $ la semicirconferenza di raggio $ R $. $ gamma = Gamma uu I $ dove $ Gamma $ è l'arco di semicirconferenza mentre $ I=[-R , R] $ .
Sapendo che la funzione non ha poli all'interno di $ gamma $ allora per il teorema di Cauchy si ha che:
$ oint_(gamma) e^(-z^2) dz =0 $
L'integrale curvilineo allora posso scomporlo in:
$ oint_(gamma) = int_(I)+ int_(Gamma) $
Cioè quindi:
$ int_(-R)^(R) e^(-x^2) dx + int_(Gamma) e^(-z^2) dz = 0 $
Passando al limite per $ R rarr oo $ si ha:
$ int_(-oo)^(oo) e^(-x^2) dx +( lim_(R->oo) int_(Gamma) e^(-z^2) dz ) = 0 $
Si ha $ lim_(z -> oo) ze^(-z^2)=0 $ quindi per il lemma del cerchio grande $ lim_(R->oo) int_(Gamma) e^(-z^2) dz = 0 $
ma allora $ int_(-oo)^(oo) e^(-x^2) dx = 0 $ che come tutti sappiamo è errato.
Ma dov'è che ho sbagliato? Forse c'è qualcosa di "strano" che non mi permette di applicare il lemma del cerchio grande? Oppure un qualche motivo per cui non posso passare al limite per $ Rrarr oo $ ?
Ringrazio in anticipo tutti per l'attenzione attendendo con ansia una risposta!
Apro questo thread per avere dei chiarimenti riguardo all'integrale della Gaussiana svolto tramite integrali curvilinei nel campo complesso.
Non riesco a capire dove è l'errore nel mio calcolo e/o perchè non posso proprio fare il calcolo in questo modo.
Sia $ int_(-oo )^(+oo )e^(-x^2) dx = pi ^(1/2) $
Pongo $ f(z)=e^(-z^2) $ e chiamo $ gamma $ la semicirconferenza di raggio $ R $. $ gamma = Gamma uu I $ dove $ Gamma $ è l'arco di semicirconferenza mentre $ I=[-R , R] $ .
Sapendo che la funzione non ha poli all'interno di $ gamma $ allora per il teorema di Cauchy si ha che:
$ oint_(gamma) e^(-z^2) dz =0 $
L'integrale curvilineo allora posso scomporlo in:
$ oint_(gamma) = int_(I)+ int_(Gamma) $
Cioè quindi:
$ int_(-R)^(R) e^(-x^2) dx + int_(Gamma) e^(-z^2) dz = 0 $
Passando al limite per $ R rarr oo $ si ha:
$ int_(-oo)^(oo) e^(-x^2) dx +( lim_(R->oo) int_(Gamma) e^(-z^2) dz ) = 0 $
Si ha $ lim_(z -> oo) ze^(-z^2)=0 $ quindi per il lemma del cerchio grande $ lim_(R->oo) int_(Gamma) e^(-z^2) dz = 0 $
ma allora $ int_(-oo)^(oo) e^(-x^2) dx = 0 $ che come tutti sappiamo è errato.
Ma dov'è che ho sbagliato? Forse c'è qualcosa di "strano" che non mi permette di applicare il lemma del cerchio grande? Oppure un qualche motivo per cui non posso passare al limite per $ Rrarr oo $ ?
Ringrazio in anticipo tutti per l'attenzione attendendo con ansia una risposta!
Risposte
Beh, semplicemente il:
\[
\lim_{|z|\to +\infty} z\ \mathbf{e}^{-z^2}
\]
non è zero.
Infatti, se $z=y\mathbf{i}$ hai:
\[
z\ \mathbf{e}^{-z^2} = \mathbf{i}\ y\ \mathbf{e}^{y^2}
\]
e da ciò si vede che:
\[
\lim_{z\to +\infty \mathbf{i}} z\ \mathbf{e}^{-z^2} = \infty\; .
\]
D'altra parte, la funzione intera \(\mathbf{e}^{-z^2}\) ha una singolarità essenziale in \(\infty\) (proprio perché intera), dunque anche \(z\mathbf{e}^{-z^2}\) ha lo stesso tipo di singolarità in \(\infty\); ciò implica che il limite:
\[
\lim_{z\to \infty} z\ \mathbf{e}^{-z^2}
\]
non può esistere.
\[
\lim_{|z|\to +\infty} z\ \mathbf{e}^{-z^2}
\]
non è zero.
Infatti, se $z=y\mathbf{i}$ hai:
\[
z\ \mathbf{e}^{-z^2} = \mathbf{i}\ y\ \mathbf{e}^{y^2}
\]
e da ciò si vede che:
\[
\lim_{z\to +\infty \mathbf{i}} z\ \mathbf{e}^{-z^2} = \infty\; .
\]
D'altra parte, la funzione intera \(\mathbf{e}^{-z^2}\) ha una singolarità essenziale in \(\infty\) (proprio perché intera), dunque anche \(z\mathbf{e}^{-z^2}\) ha lo stesso tipo di singolarità in \(\infty\); ciò implica che il limite:
\[
\lim_{z\to \infty} z\ \mathbf{e}^{-z^2}
\]
non può esistere.
Risposta molto esaustiva e chiarissima.
Grazie mille gugo!
Grazie mille gugo!
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