Integrare equazione differenziali a variabili separabili
Ciao a tutti, sono una laureanda in ingegneria chimica, sto affrontando il mio ultimo esame e sono abbastanza disperata, in quanto in analisi abbiamo fatto pochissimo, se non quasi niente sulle equazioni differenziali. Bene, il mio ultimo esame non lo si può risolvere diversamente o le sai fare o niente. Per quanto riguarda le basi so farle (cauchy, eq diff ordinarie lineari e non), ma il problema si pone in casi come questo, ovvero quando ho questa condizione, ex. devo calcolare x da questa equazione, CONDIZIONE: $ c=c0 $ e $ x=0 $ EQUAZIONE: $ V*c'=k*(s-c) $
Non trovo esempi di questo genere online, se foste in grado di aiutarmi, ve ne sarei davvero grata, grazie mille!!
Non trovo esempi di questo genere online, se foste in grado di aiutarmi, ve ne sarei davvero grata, grazie mille!!
Risposte
Ho sbagliato a scrivere, devo calcolare c non x, l'equazione e la condizione precedentemente scritte sono giuste. Mi scuso per l'errore e il fraintendimento
Ciao veranab,
Benvenuta sul forum!
Quoto arnett, non si capiscono i termini del problema. Può darsi che sia un'equazione differenziale specifica delll'esame di ingegneria chimica che stai preparando, per cui dovresti essere più chiara in modo che si riesca ad aiutarti. In generale, sulle equazioni differenziali puoi trovare diverso materiale su questo stesso sito cercando "Equazione/i differenziale/i" o in Internet: ad esempio potresti dare un'occhiata qui.
Benvenuta sul forum!
Quoto arnett, non si capiscono i termini del problema. Può darsi che sia un'equazione differenziale specifica delll'esame di ingegneria chimica che stai preparando, per cui dovresti essere più chiara in modo che si riesca ad aiutarti. In generale, sulle equazioni differenziali puoi trovare diverso materiale su questo stesso sito cercando "Equazione/i differenziale/i" o in Internet: ad esempio potresti dare un'occhiata qui.
Vediamo se ho capito bene, nel caso mi correggerai... 
L'equazione differenziale proposta è la seguente:
$V c'(x) = k (s - c(x)) $
con la condizione iniziale $c(0) = c_0 $, tutto il resto è costante o comunque non dipende da $x $. In tal caso l'equazione differenziale è a variabili separabili per cui supponendo $s > c(x) \implies s - c(x) > 0 $ ed integrando si ha:
$ - ln(s - c(x)) + \text{costante} = k/V x $
$ ln(1/(s - c(x))) + lnK = k/V x $
$ ln(K/(s - c(x))) = k/V x $
$ K/(s - c(x)) = e^{k/V x} $
$ s - c(x) = K e^{- k/V x} $
$ c(x) = - Ke^{- k/V x} + s $
Dato che $ c_0 = c(0) = - K + s \implies - K = c_0 - s $ per cui in definitiva si ha:
$ c(x) = (c_0 - s) e^{- k/V x} + s $
L'equazione differenziale proposta è la seguente:
$V c'(x) = k (s - c(x)) $
con la condizione iniziale $c(0) = c_0 $, tutto il resto è costante o comunque non dipende da $x $. In tal caso l'equazione differenziale è a variabili separabili per cui supponendo $s > c(x) \implies s - c(x) > 0 $ ed integrando si ha:
$ - ln(s - c(x)) + \text{costante} = k/V x $
$ ln(1/(s - c(x))) + lnK = k/V x $
$ ln(K/(s - c(x))) = k/V x $
$ K/(s - c(x)) = e^{k/V x} $
$ s - c(x) = K e^{- k/V x} $
$ c(x) = - Ke^{- k/V x} + s $
Dato che $ c_0 = c(0) = - K + s \implies - K = c_0 - s $ per cui in definitiva si ha:
$ c(x) = (c_0 - s) e^{- k/V x} + s $
@veranabla
Ma $c$ è una concentrazione? Se si di cosa? (curiosità)
Ma $c$ è una concentrazione? Se si di cosa? (curiosità)
Ho trovato. Magari per qualcuno era banale ma si tratta di una "reazione chimica del primo ordine". Avrei dovuto riconoscerla subito.
Ciao.
Ciao.
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