Integralino

[Lucked]

allora..partiamo da qua:

$int_1^{+infty}2^x/(4^x+2^(x+1)-3)dx$

è un integrale improprio e diventa:

$lim_(b->+infty) int_1^b 2^x/(4^x+2^(x+1)-3)dx$

poi faccio: t = 2^x

e chi mi spiega questo passaggio?

$lim_(b->+infty) int_2^(2^b) 1/(4log2(t^2+2t-3)) dt$

in particolare non capisco come mai sopra mettiamo 1 e non t e sotto come è venuto fuori quel 4log2?
Vi prego di spiegarmelo in italiano prolisso, conosco gli integrali, ma sono appena agli inizi.

ora vi riporto tutti i passaggi fino al risultato...

$lim_(b->+infty) 1/(4 log 2) [log | (t-1)/(t+3)|]_2^(2^b) $

$1/(4 log 2) lim_(b->+infty) [log |(2^b - 1) / (2^b + 3) | - log (1/5)] = log 5 / (4log2)$

[cavallipurosangue]

Quel logaitmo dertiva dal cambiamento dei differenziali, infatti se hai:
$I=\intf(x)dx$ e fai la sostituzione (con un altra funzione che sia invertibile nell'intervallo di integrazione): $x=\phi(t)$, avrai che:
$I=\intf(\phi(t))\phi'(t)dt$.
Infatti devi considerare che:
$dx/{dt}=\phi'(t)=>dx=\phi'(t)dt$

[Lucked]

si ma tornando all'esercizio:

ho calcolato dx = 1 / (t log 2)

poi la t si semplificherebbe con la t sopra...e il 4 a denominatore da dove viene?

[cavallipurosangue]

Ora come ora non mi viene in mente nulla che giustifichi la preesenza di quel 4...

[freddofede]

"Lucked":si ma tornando all'esercizio:

ho calcolato dx = 1 / (t log 2)

poi la t si semplificherebbe con la t sopra...e il 4 a denominatore da dove viene?

Pure a me torna tutto fuorchè quel 4...

[Fioravante Patrone1]

E' un errore di calcolo, una svista.
Non c'è nessun 4.
ciao

[Lucked]

ora vi riporto tutti i passaggi fino al risultato...(li ho aggiunti anche sopra per una piu rapida consultazione)

$lim_(b->+infty) 1/(4 log 2) [log | (t-1)/(t+3)|]_2^(2^b) $

$1/(4 log 2) lim_(b->+infty) [log |(2^b - 1) / (2^b + 3) | - log (1/5)] = log 5 / (4log2)$

[Sk_Anonymous]

il quattro viene fuori dalla divisione del polinomio...
pongo $2^x=t rArr x=log_2t rArr dx=1/(tln2)dt
e l'integrale diventa:
$1/ln2lim_(b->+oo)int_1^b1/(t^2+2t-3)dt=1/ln2lim_(b->+oo)int_1^b1/((t-1)(t+3))dt=1/(4ln2)lim_(b->+oo)int_1^b1/(t-1)-1/(t+3)dt=
$=1/(4ln2)lim_(b->+oo)[ln|t-1|-ln|t+3|]_1^b=1/(4ln2)lim_(b->+oo)[ln|(t-1)/(t+3)|]_1^b=1/(4ln2)lim_(b->+oo)[ln|(2^x-1)/(2^x+3)|]_1^b=
$1/(4ln2)lim_(b->+oo)ln|(2^b-1)/(2^b+3)|+ln5=ln5/(4ln2)

[freddofede]

Allora la forma in cui l'ha scritto lucked è sbagliata... no?

[cavallipurosangue]

Beh direi proprio di si...

[Lucked]

ciao micheletv! hai scritto:

$1/(4ln2)lim_(b->+oo)ln|(2^b-1)/(2^b+3)|+ln5=ln5/(4ln2)$

mi spiegate perchè + ln 5 e non - ln 1/5
e perche quel limite che è infinito su infinito fa zero?

[freddofede]

"Lucked":ciao micheletv! hai scritto:

$1/(4ln2)lim_(b->+oo)ln|(2^b-1)/(2^b+3)|+ln5=ln5/(4ln2)$

mi spiegate perchè + ln 5 e non - ln 1/5
e perche quel limite che è infinito su infinito fa zero?

Devi guardare alle proprietà del logaritmo: $ln(1/5) = ln(5^(-1))$ e quel -1 può essere portato fuori a moltiplicare il $ln5$.

Quel limite all'interno del ln tende a 1, perchè:

$lim_(n -> +oo) |(2^b - 1) / (2^b + 3) | = lim_(n -> +oo) |(1 - 1/(2^b)) / (1 + 3/(2^b))| = |(1 - 0) / (1 + 0)| $

Data la continuità della funzione logaritmo, il limite è zero.

[Lucked]

grazie mille, non ci avrei mai pensato, il mio livello di mate è tendente a zero : )

[freddofede]

"Lucked":grazie mille, non ci avrei mai pensato, il mio livello di mate è tendente a zero : )

Beh, se vuoi un cosiglio approfitta dell'estate e datti una rinfrescata sulle basi a volte serve (lo dico per esperienza...)