Integrali....convergenza o divergenza...questo è il problema
Ragazzi proprio non ci riesco....sti integrali impropri mi stanno uccidendo...sopratutto perchè alla fine penso che non siano così difficili ma non riesco mai a giustificare il fatto che divergono o convergono....
vi faccio vedere un ex così mi aiutate a capire nel concreto...
$\int_{0}^{+\infty}{sen\frac{1}{1+x^{2}}$
allora...per prica cosa direi di studiare la funzione per vedere se converge o diverge e per stabilire se è integrabile oppure no..
faccio il limite per x che tende a infinito di ${sen\frac{1}{1+x^{2}}$
per capire come si comporta il seno studo il suo argomento $\frac{1}{1+x^{2}}$
per x che va a infinito
abbiamo che $\frac{1}{1+x^{2}}=0$
quindi $\lim_{n \to \infty} {sen\frac{1}{1+x^{2}}=0$
la funzione converge quindi è integrabile.
Ora [e qui incominciano i miei dubbi] devo studiare il limite per b che tende a infinito dell'integrale fra 1 e b...siccome non so integrare una funzione del genere cerco di capire a cosa è asintotica.
[qui mi blocco completamente]
$\frac{1}{1+x^{2}}$ è asintotica a $\frac{1}{x^{2}}$
e poi nn so come andare avanti.....chi mi aiuta a capire??
vi faccio vedere un ex così mi aiutate a capire nel concreto...
$\int_{0}^{+\infty}{sen\frac{1}{1+x^{2}}$
allora...per prica cosa direi di studiare la funzione per vedere se converge o diverge e per stabilire se è integrabile oppure no..
faccio il limite per x che tende a infinito di ${sen\frac{1}{1+x^{2}}$
per capire come si comporta il seno studo il suo argomento $\frac{1}{1+x^{2}}$
per x che va a infinito
abbiamo che $\frac{1}{1+x^{2}}=0$
quindi $\lim_{n \to \infty} {sen\frac{1}{1+x^{2}}=0$
la funzione converge quindi è integrabile.
Ora [e qui incominciano i miei dubbi] devo studiare il limite per b che tende a infinito dell'integrale fra 1 e b...siccome non so integrare una funzione del genere cerco di capire a cosa è asintotica.
[qui mi blocco completamente]
$\frac{1}{1+x^{2}}$ è asintotica a $\frac{1}{x^{2}}$
e poi nn so come andare avanti.....chi mi aiuta a capire??
Risposte
Forse hai più di un dubbio, che la tua funzione converga a zero all'infinito non ti basta per l'integrabilità altrimenti anche la funzione $1/x$ sarebbe integrabile.
L'integrale generalizzato gioca sul fatto che la parte positiva e la parte negativa di una funzione si compensano e quindi l'integrale risulta finito
anche se la funzione integranda non è integrabile cioè il suo valore assoluto non è integrabile.
Nell'intorno dell'origine $sen(x)\sim x$, prova a riadattarlo al tuo caso.
L'integrale generalizzato gioca sul fatto che la parte positiva e la parte negativa di una funzione si compensano e quindi l'integrale risulta finito
anche se la funzione integranda non è integrabile cioè il suo valore assoluto non è integrabile.
Nell'intorno dell'origine $sen(x)\sim x$, prova a riadattarlo al tuo caso.
"Andrea2976":
Forse hai più di un dubbio, che la tua funzione converga a zero all'infinito non ti basta per l'integrabilità altrimenti anche la funzione $1/x$ sarebbe integrabile.
L'integrale generalizzato gioca sul fatto che la parte positiva e la parte negativa di una funzione si compensano e quindi l'integrale risulta finito
anche se la funzione integranda non è integrabile cioè il suo valore assoluto non è integrabile.
Nell'intorno dell'origine $sen(x)\sim x$, prova a riadattarlo al tuo caso.
sorry ma la funzione 1/x che io sappia è integrabile ma il suo integrale diverge.....no??
Forse adottiamo diverse definizioni di integrabilità, una funzione è integrabile (o sommabile) se lo è il suo modulo, inteso nel senso che l'integrale esista "finito", a prescendire dal conoscere una primitiva.
Per il tuo esercizio o procedi con una maggiorazione del modulo della funzione con una il cui integrale esista finito, oppure con due funzioni una positiva e una negativa (euristicamente una dall'alto e una dal basso) il cui integrale sia finito, maggiorare il seno con il suo "argomento" mi sembra la scelta più semplice
nel tuo caso.
Per il tuo esercizio o procedi con una maggiorazione del modulo della funzione con una il cui integrale esista finito, oppure con due funzioni una positiva e una negativa (euristicamente una dall'alto e una dal basso) il cui integrale sia finito, maggiorare il seno con il suo "argomento" mi sembra la scelta più semplice
nel tuo caso.
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