[integrali]converge o diverge
Questi integrali convergono o divergono?
$ int_(1)^(+∞) sin(x)/x^3 dx $
$ int_(0)^(pi/2)(ln(1-3x)/(3xsin(x))) dx $
Non sono riuscito a capire come risolverli
$ int_(1)^(+∞) sin(x)/x^3 dx $
$ int_(0)^(pi/2)(ln(1-3x)/(3xsin(x))) dx $
Non sono riuscito a capire come risolverli
Risposte
A me viene che il primo converge..
la prima funzione è un infinitesimo di ordine maggiore di 1 per $ xrarr+infty $
quindi l'integrale converge
per la seconda funzione l'esercizio non ha senso perchè il dominio di di $ln(1-3x)$ è l'intervallo $(-infty,1/3)$
quindi l'integrale converge
per la seconda funzione l'esercizio non ha senso perchè il dominio di di $ln(1-3x)$ è l'intervallo $(-infty,1/3)$
Il fatto è che non ho idea di come li avete svolti o comunque come siete arrivati a tale conclusione 
Per il primo esercizio:
sai che il limite per $x\rightarrow +infty$ è 0 quindi $f(x)=o(1/x^2)$ la funzione è dunque un' infinitesima di ordine maggiore a 1 così per il criterio del confronto asintotico ( se non sai cosa è ti conviene studiarlo) sai che $(1/x^\alpha)$ con $\alpha>1$ l'integrale converge oppure per Lebesgue puoi notare che il limite dell'integranda è finito e trarre molto banalmente che l'integrale converge.
sai che il limite per $x\rightarrow +infty$ è 0 quindi $f(x)=o(1/x^2)$ la funzione è dunque un' infinitesima di ordine maggiore a 1 così per il criterio del confronto asintotico ( se non sai cosa è ti conviene studiarlo) sai che $(1/x^\alpha)$ con $\alpha>1$ l'integrale converge oppure per Lebesgue puoi notare che il limite dell'integranda è finito e trarre molto banalmente che l'integrale converge.
Mazza sono le 3 di mattina, provavo a stabilire se il seguente integrale converge o diverge:
$ int_(2 )^(+oo ) 2/(|2-x^2|+1) dx $
Dato che l'intervallo è [2, $ +infty $) possiamo togliere il modulo:
$ int_(2)^(+oo) 2/(x^2-1) dx $
Utilizzando il metodo dei fratti semplici mi ritrovo:
$ int_(2)^(+oo) 1/(x-1) dx + int_(2)^(+oo) -2/(x+1) dx $
Svolgendo il tutto mi vengono fuori i logaritmi e poi alla fine $ +infty $ - $ +infty $ che teoricamente significa che non converge?
Ho provato a verificare con WolframAlpha ed il risultato che mi dà è molto diverso, log(3)... quindi converge
$ int_(2 )^(+oo ) 2/(|2-x^2|+1) dx $
Dato che l'intervallo è [2, $ +infty $) possiamo togliere il modulo:
$ int_(2)^(+oo) 2/(x^2-1) dx $
Utilizzando il metodo dei fratti semplici mi ritrovo:
$ int_(2)^(+oo) 1/(x-1) dx + int_(2)^(+oo) -2/(x+1) dx $
Svolgendo il tutto mi vengono fuori i logaritmi e poi alla fine $ +infty $ - $ +infty $ che teoricamente significa che non converge?
Ho provato a verificare con WolframAlpha ed il risultato che mi dà è molto diverso, log(3)... quindi converge
Mi sa che hai dimenticato di togliere un 2 al numeratore del secondo integrale, ma vista l'ora ti perdoniamo 
Comunque:
$int_(2)^(+oo) 1/(x-1)dx-int_(2)^(+oo) 1/(x+1)dx$
$lim_(T->+oo) int_(2)^(T) 1/(x-1)dx-int_(2)^(T) 1/(x+1)dx$
$lim_(T->+oo) (log|x-1|-log|x+1|)\|_2^T$
$lim_(T->+oo) [ log(T-1)-log(T+1)-(log(2-1)-log(2+1)) ]$
$lim_(T->+oo) ( log((T-1)/(T+1))+log(3) )=...$
Comunque:
$int_(2)^(+oo) 1/(x-1)dx-int_(2)^(+oo) 1/(x+1)dx$
$lim_(T->+oo) int_(2)^(T) 1/(x-1)dx-int_(2)^(T) 1/(x+1)dx$
$lim_(T->+oo) (log|x-1|-log|x+1|)\|_2^T$
$lim_(T->+oo) [ log(T-1)-log(T+1)-(log(2-1)-log(2+1)) ]$
$lim_(T->+oo) ( log((T-1)/(T+1))+log(3) )=...$
"Obidream":
Mi sa che hai dimenticato di togliere un 2 al numeratore del secondo integrale, ma vista l'ora ti perdoniamo
Comunque:
$int_(2)^(+oo) 1/(x-1)dx-int_(2)^(+oo) 1/(x+1)dx$
$lim_(T->+oo) int_(2)^(T) 1/(x-1)dx-int_(2)^(T) 1/(x+1)dx$
$lim_(T->+oo) (log|x-1|-log|x+1|)\|_2^T$
$lim_(T->+oo) [ log(T-1)-log(T+1)-(log(2-1)-log(2+1)) ]$
$lim_(T->+oo) ( log((T-1)/(T+1))+log(3) )=...$
Sisi, stupido errore più che altro nel trascriverlo sul forum! comunque quello che avevo sbagliato e che non avevo utilizzato la proprietà dei logaritmi e quindi metterli come frazione... Ecco perché appunto mi veniva + infinito e - infinito, grazie!
Ora stavo provando a risolvere il seguente:
$ int_(0)^(Pi/2) (ln(1+4x))/(2x(sin(x)) dx $
So già che diverge ma non mi è ben chiaro come ottenere il tutto...
Risolvere l'integrale mi sembra un po' da pazzi, io ho provato a sostituire $ Pi/2 $ e quindi mi viene fuori:
$ (ln(1+2Pi)/(Pi(sin(0)))) $
Dato che il seno di 0 fa 0 allora viene qualcosa fratto 0 che fa infinito e quindi diverge ma non credo sia molto ortodosso il metodo da me utilizzato mmm...
Beh in effetti è ovvio che diverge, osservando che l'integranda per $x->0^+$ si comporta come $2/x$...
Non dovresti neanche considerare l'altro estremo perché la funzione in $pi/2$ è definita ( $sin(pi/2)=1$ mica $0$
).
Non dovresti neanche considerare l'altro estremo perché la funzione in $pi/2$ è definita ( $sin(pi/2)=1$ mica $0$
).
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