Integrali tripli lebesgue
Salve a tutti! 
Nonostante abbia cercato in lungo e largo su questo sito e anche su internet non sono riuscita a trovare una risposta alle mie domande. Devo sostenere l'esame scritto di Analisi Matematica 2, mentre mi esercitavo sugli integrali tripli ho provato a risolvere quelli dei compiti passati senza nessun risultato. Sul mio eserciziario non c è un singolo esempio simile e idem sugli appunti e su internet. Spero qualcuno di voi mi sappia aiutare. Vi ringrazio anticipatamente di cuore! 
L' integrale è:
A={ (x,y,z) \inplus R^3 / x^2 + y^2 \leq 1 , |z|\leq 1}
f(x,y,z) = 1/ (x^2 + y^2 +z^4)^(\alpha)
io ho fatto così:
x= \rho cos(\Theta)
y= \rho sen(\Theta)
z=t
quindi:
\lmoustache sen(t) / (\rho^2 cos^2(\theta) + \rho^2 sen^2(\theta) + t^4)^(\alpha)
che infine con i calcoli viene -\lmoustache 1/(2(\alpha -1) (\rho^2 +t^4)^(\alpha -1) d(\theta)
è sbagliato? Gli estremi di integrazione come si mettono?
L' altro è :
A={(x,y,z) / x^2 + y^2 +z^2 >=1 , -pi/2 =< x =< pi }
f(x,y,z) = sen(z) / (x^2 + y^2 + cos^2(z) )^3
questo non lo so fare proprio..
Grazie ancora..spero mi aiuterete, nonostante non abbia scritto bene..
Nonostante abbia cercato in lungo e largo su questo sito e anche su internet non sono riuscita a trovare una risposta alle mie domande. Devo sostenere l'esame scritto di Analisi Matematica 2, mentre mi esercitavo sugli integrali tripli ho provato a risolvere quelli dei compiti passati senza nessun risultato. Sul mio eserciziario non c è un singolo esempio simile e idem sugli appunti e su internet. Spero qualcuno di voi mi sappia aiutare.
Vi ringrazio anticipatamente di cuore! L' integrale è:
A={ (x,y,z) \inplus R^3 / x^2 + y^2 \leq 1 , |z|\leq 1}
f(x,y,z) = 1/ (x^2 + y^2 +z^4)^(\alpha)
io ho fatto così:
x= \rho cos(\Theta)
y= \rho sen(\Theta)
z=t
quindi:
\lmoustache sen(t) / (\rho^2 cos^2(\theta) + \rho^2 sen^2(\theta) + t^4)^(\alpha)
che infine con i calcoli viene -\lmoustache 1/(2(\alpha -1) (\rho^2 +t^4)^(\alpha -1) d(\theta)
è sbagliato? Gli estremi di integrazione come si mettono?
L' altro è :
A={(x,y,z) / x^2 + y^2 +z^2 >=1 , -pi/2 =< x =< pi }
f(x,y,z) = sen(z) / (x^2 + y^2 + cos^2(z) )^3
questo non lo so fare proprio..
Grazie ancora..spero mi aiuterete, nonostante non abbia scritto bene..
Risposte
Basta mettere il simbolo del dollaro all'inizio e alla fine di ogni formula. Comunque, mi pare di capire che tu debba calcolare
$$\iiint_A\frac{1}{(x^2+y^2+z^4)^\alpha}\ dx\ dy\ dz$$
dove
$$A=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ x^2+y^2\le 1,\ |z|\le 1\right\}$$
che risulta essere un cilindro con asse coincidente l'asse $z$ e con le basi poste sui piani $z=-1$ e $z=1$. Con la sostituzione in coordinate cilindriche ottieni
$$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=t,\qquad \rho\in[0,1],\ \theta\in[0,2\pi],\ t\in[-1,1]$$
ed avendosi per lo Jacobiano $J=\rho$, l'integrale diventa
$$\int_0^{2\pi}\int_{-1}^1\int_0^1\frac{\rho}{(\rho^2+t^4)^\alpha}\ d\rho\ dt\ d\theta$$
Ora, tale integrale cambia a seconda che $\alpha=1$ o $\alpha\ne 1$. Prova un po' a calcolarlo, svolgendo gli integrali nell'ordine scritto (prima $\rho$, poi $t$).
$$\iiint_A\frac{1}{(x^2+y^2+z^4)^\alpha}\ dx\ dy\ dz$$
dove
$$A=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ x^2+y^2\le 1,\ |z|\le 1\right\}$$
che risulta essere un cilindro con asse coincidente l'asse $z$ e con le basi poste sui piani $z=-1$ e $z=1$. Con la sostituzione in coordinate cilindriche ottieni
$$x=\rho\cos\theta,\ y=\rho\sin\theta,\ z=t,\qquad \rho\in[0,1],\ \theta\in[0,2\pi],\ t\in[-1,1]$$
ed avendosi per lo Jacobiano $J=\rho$, l'integrale diventa
$$\int_0^{2\pi}\int_{-1}^1\int_0^1\frac{\rho}{(\rho^2+t^4)^\alpha}\ d\rho\ dt\ d\theta$$
Ora, tale integrale cambia a seconda che $\alpha=1$ o $\alpha\ne 1$. Prova un po' a calcolarlo, svolgendo gli integrali nell'ordine scritto (prima $\rho$, poi $t$).
Prima di tutto grazie per avermi risposto e per aver capito la mia scrittura.. e scusa ancora!
Ora ho capito, provo a svolgere i calcoli! Grazie davvero! Mi aiuteresti anche col secondo che ho scritto, non importano i calcoli, mi basterebbe capire come impostarlo.. Un' altra domanda, come faccio a capire se usare l'integrazione per fili per strati o con coordinate polari? 
e scusa ancora!Ora ho capito, provo a svolgere i calcoli! Grazie davvero!
Mi aiuteresti anche col secondo che ho scritto, non importano i calcoli, mi basterebbe capire come impostarlo.. Un' altra domanda, come faccio a capire se usare l'integrazione per fili per strati o con coordinate polari?
Come dicevo, il dominio $A$ è un cilindro: se sostituisci nelle equazioni che lo definiscono le nuove coordinate ottieni
$$\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta\le 1\ \Rightarrow\ \rho^2\le 1\ \Rightarrow\ 0\le\rho\le 1$$
questo perché, per definizione, $\rho$ è positiva. Inoltre si ha pure $|t|\le 1$ che equivale a dire $-1\le t\le 1$. Il fatto che nelle disequazioni non appaio $\theta$, implica che essa è libera di variare come vuole, da cui $\theta\in[0,2\pi]$.
$$\rho^2\cos^2\theta+\rho^2\sin^2\theta\le 1\ \Rightarrow\ \rho^2\le 1\ \Rightarrow\ 0\le\rho\le 1$$
questo perché, per definizione, $\rho$ è positiva. Inoltre si ha pure $|t|\le 1$ che equivale a dire $-1\le t\le 1$. Il fatto che nelle disequazioni non appaio $\theta$, implica che essa è libera di variare come vuole, da cui $\theta\in[0,2\pi]$.
Grazie grazie grazie,mi hai cambiato la giornata! Mi aiuteresti anche col secondo che ho scritto, non importano i calcoli, mi basterebbe capire come impostarlo..Io avevo provato con le coordinate polari ma viene un delirio.. Un' altra domanda, come faccio a capire se usare l'integrazione per fili per strati o con coordinate polari?
Mi aiuteresti anche col secondo che ho scritto, non importano i calcoli, mi basterebbe capire come impostarlo..Io avevo provato con le coordinate polari ma viene un delirio.. Un' altra domanda, come faccio a capire se usare l'integrazione per fili per strati o con coordinate polari?
Il secondo integrale è questo?
$$\iiint_A\frac{\sin z}{(x^2+y^2+\cos z)^3}\ dx\ dy\ dz$$
con
$$A=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ x^2+y^2+z^2\ge 1,\ -\frac{\pi}{2}\le x\le \pi\right\}$$
$$\iiint_A\frac{\sin z}{(x^2+y^2+\cos z)^3}\ dx\ dy\ dz$$
con
$$A=\left\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\ :\ x^2+y^2+z^2\ge 1,\ -\frac{\pi}{2}\le x\le \pi\right\}$$
esatto..io ho provato con le coordinate polari ma il calcolo mi sembra complesso..e soprattutto mi blocca il denominatore..
Siamo quindi sicuri che ci sia un maggiore o uguale nella prima disequazione? E che la seconda limitazione non valga, per esempio, per $z$?
si il segno è maggiore uguale, nella seconda disequazione è z, scusami ho fatto confusione io..
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