Integrali tripli con la temperatura
La temperatura in un punto di un cono z=(x2+y2)^(1/2) con 0≤z≤2 è data da T(x,y,z)=100−25z. Determinarne la temperatura media, data dall'integrale della temperatura sul cono diviso l'area della superficie considerata. Esprimere il risultato troncando alla prima cifra dopo la virgola.
Non riesco a risolvere questo problema qualcuno mi sa aiutare?
Non riesco a risolvere questo problema qualcuno mi sa aiutare?
Risposte
Ciao mapolluz,
Nel caso in esame in effetti si tratta di un integrale triplo, ma la soluzione è simile a quella già proposta per l'altro tuo quesito analogo. Qui però non è chiaro di quale superficie si tratta: quella totale del cono o quella laterale?
Nel caso in esame in effetti si tratta di un integrale triplo, ma la soluzione è simile a quella già proposta per l'altro tuo quesito analogo. Qui però non è chiaro di quale superficie si tratta: quella totale del cono o quella laterale?
Area totale. Il mio problema in questo esercizio è che non so che estremi di integrazione mettere a x e y.
Grazie per l'aiuto
Grazie per l'aiuto
"mapolluz":
Il mio problema in questo esercizio è che non so che estremi di integrazione mettere a x e y.
$-2 \le x \le 2 $, $ - sqrt{4 - x^2} \le y \le sqrt{4 - x^2} $
Ho provato a farlo seguendo i tuoi estremi ma non viene 
Adesso ho poco tempo, prova a postare i calcoli che magari stasera ci guardo. Ti faccio osservare che il cono ha il vertice nell'origine degli assi cartesiani e la base "forata" al centro dall'asse $z$ avente raggio $r = 2 $, mentre l'apotema è $ a = sqrt{r^2 + h^2} = sqrt{2^2 + 2^2} = 2 sqrt{2} $, per cui si ha:
$S_l = \pi r \cdot a = 4 sqrt{2} \pi $
$S_t = S_l + S_b = 4 sqrt{2} \pi + 4\pi = 4\pi(sqrt{2} + 1) $
$S_l = \pi r \cdot a = 4 sqrt{2} \pi $
$S_t = S_l + S_b = 4 sqrt{2} \pi + 4\pi = 4\pi(sqrt{2} + 1) $
io ho continuato facendo l'integrale tra 0 e 2 della funzione dz, dopodichè ho usato i tuoi estremi e ho integrato rispetto a y e poi rispetto a x dividendo il tutto per la superficie totale. Mi risulta 62,13. Potrebbe essere?
"mapolluz":
Mi risulta 62,13. Potrebbe essere?
Direi di no, mi sembra un numero un po' troppo "grande" visti i numeri con cui si ha a che fare...
Ma non hai il risultato sul libro di testo? Prova a postare i calcoli.
Non si gira l'immagine e non so come fare ahha scusa!
Comunque sono i miei calcoli
è giusto cosi?
Perdonami, sarà l'età, ma non vedo una mazza... Magari se riesco più tardi provo a farlo.
ok! Grazie infinite per l'aiuto in tutte le domande
Ammesso di non aver sbagliato ancora, in effetti anche a me viene come a te:
$T_m = frac{1}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 int_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} int_{0}^2 T(x, y, z) dz dy dx = $
$ = frac{1}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 int_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} int_{0}^2 (100 - 25z) dz dy dx = $
$ = frac{1}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 int_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} [100z - 25z^2/2]_{0}^{2} dy dx = $
$ = frac{150}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 int_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} dy dx = $
$ = frac{150}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 [y]_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} dx = frac{150}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 2sqrt{4 - x^2} dx = $
$ = frac{300}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 sqrt{4 - x^2} dx = frac{150 \cdot 4\pi}{4\pi(sqrt{2} + 1)} = 150(sqrt{2} - 1)$
$T_m = frac{1}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 int_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} int_{0}^2 T(x, y, z) dz dy dx = $
$ = frac{1}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 int_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} int_{0}^2 (100 - 25z) dz dy dx = $
$ = frac{1}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 int_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} [100z - 25z^2/2]_{0}^{2} dy dx = $
$ = frac{150}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 int_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} dy dx = $
$ = frac{150}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 [y]_{-sqrt{4 - x^2}}^{sqrt{4 - x^2}} dx = frac{150}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 2sqrt{4 - x^2} dx = $
$ = frac{300}{4\pi(sqrt{2} + 1)} int_{-2}^2 sqrt{4 - x^2} dx = frac{150 \cdot 4\pi}{4\pi(sqrt{2} + 1)} = 150(sqrt{2} - 1)$
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