Integrali tripli
Ciao a tutti, ho qualche problema nel risolvere questo tipo di integrali. Nello specifico non capisco come determinare gli estremi di integrazione nel caso in cui la regione di integrazione solida non sia banale (sfere, cilindri etc).
Faccio un esempio:
Se $T = {(x,y,z) \epsilon \mathbb{R}^3 : 3z=x^2+y^2, z\geq0, 4 \leq x^2+y^2 \leq 36}$ quindi un paraboloide che si proietta sulla corona circolare di centro l'origine e raggi 2 e 6, in coordinate cilindriche dovrei avere: $2\leq\rho\leq6, 0\leq\theta\leq2\pi, ((\rho^2-4))/3\leqz\leq((\rho^2-36)/3)$ è giusto?
(Giusto per completezza: l'integrale da calcolare sarebbe $\int\int\int_T 4z(x^2 +y^2)dxdydz$, forse c'è un modo più semplice per procedere e io non l'ho visto)
Faccio un esempio:
Se $T = {(x,y,z) \epsilon \mathbb{R}^3 : 3z=x^2+y^2, z\geq0, 4 \leq x^2+y^2 \leq 36}$ quindi un paraboloide che si proietta sulla corona circolare di centro l'origine e raggi 2 e 6, in coordinate cilindriche dovrei avere: $2\leq\rho\leq6, 0\leq\theta\leq2\pi, ((\rho^2-4))/3\leqz\leq((\rho^2-36)/3)$ è giusto?
(Giusto per completezza: l'integrale da calcolare sarebbe $\int\int\int_T 4z(x^2 +y^2)dxdydz$, forse c'è un modo più semplice per procedere e io non l'ho visto)
Risposte
sei sicuro che il dominio T sia scritto correttamente? in particolare mi riferisco alla prima relazione, che non dovrebbe essere un'uguaglianza
Hai ragione, l'ho riportato male perché l'ho ricavata da solo, la prima relazione dovrebbe essere una disuguaglianza. Il testo recitava: calcolare l'integrale $\int\int\int_T 4z(x^2 +y^2)dxdydz$ dove T è la regione di spazio delimitata dalla superficie $3z = x^2 + y^2$ che si proietta sulla corona circolare di raggi 2 e 6
eh a me non pare scritto molto bene neppure il testo dell'esercizio, anche se l'intuito mi suggerirebbe di interpretarlo esattamente come te.
comunque sei sicuro che le limitazioni di z in coordinate cilindriche siano proprio quelle? prova a scrivertele in coordinate cartesiane dapprima, e poi a convertire in quelle cilindriche (magari scrivimi qua i passaggi che fai)
comunque sei sicuro che le limitazioni di z in coordinate cilindriche siano proprio quelle? prova a scrivertele in coordinate cartesiane dapprima, e poi a convertire in quelle cilindriche (magari scrivimi qua i passaggi che fai)
Quello che non riesco a capire è proprio come ricavare le limitazioni su z. Se ${0\leqz\leq(x^2+y^2)/3}$ dovrebbe essere $0\leqz\leq\rho^2/3$ con rho e theta che variano come ho scritto su.
Il problema è che così non mi spiego il limite inferiore
Il problema è che così non mi spiego il limite inferiore
in che senso? ora sono giuste comunque.
il limite inferiore di z è sempre 0, mentre il limite superiore varia in funzione di rho. se ci pensi bene, visto che non è difficile immaginare il dominio, la cosa è ragionevole. se hai dubbi chiedi pure
il limite inferiore di z è sempre 0, mentre il limite superiore varia in funzione di rho. se ci pensi bene, visto che non è difficile immaginare il dominio, la cosa è ragionevole. se hai dubbi chiedi pure
Intanto ti ringrazio per la pazienza.
Il dubbio mi è sorto proprio perché ho fatto il disegno: l'intersezione fra il paraboloide e la corona circolare avviene ad una quota superiore a 0, quindi perché il limite inferiore è quello? Allego il disegno che ho fatto così forse ci capiamo meglio, scusate la risoluzione e l'imprecisione.
Il dubbio mi è sorto proprio perché ho fatto il disegno: l'intersezione fra il paraboloide e la corona circolare avviene ad una quota superiore a 0, quindi perché il limite inferiore è quello? Allego il disegno che ho fatto così forse ci capiamo meglio, scusate la risoluzione e l'imprecisione.
ah ora ho capito perchè fai confusione.
ripeto che il testo non è scritto bene, ma mi sembra di capire che il paraboloide determina il limite superiore del dominio, mentre il limite inferiore è costituito dal piano xy. ovviamente ci resta il foro al centro.. spero di essermi spiegato sennò richiedi
ripeto che il testo non è scritto bene, ma mi sembra di capire che il paraboloide determina il limite superiore del dominio, mentre il limite inferiore è costituito dal piano xy. ovviamente ci resta il foro al centro.. spero di essermi spiegato sennò richiedi
No, sono ancora piuttosto confuso sul perché $0
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
prego, mi dispiace non aver risolto il problema ma comunque è dovuto alla stesura del testo poco convincente. se posti altri esercizi spero di esserti più utile.
ciao!
ciao!
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