Integrali Tripli
Ciao a tutti !
Volevo un aiutino su alcuni integrali tripli.
Praticamente nn riesco a capire come fare l'integrale triplo di una funzione a 2 variabili su un cono.
Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)
Volevo un aiutino su alcuni integrali tripli.
Praticamente nn riesco a capire come fare l'integrale triplo di una funzione a 2 variabili su un cono.
Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)
Risposte
"Alberto87":
Ciao a tutti !
Volevo un aiutino su alcuni integrali tripli.
Praticamente nn riesco a capire come fare l'integrale triplo di una funzione a 2 variabili su un cono.
Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)
io farei un cambiamento di variabile.... userei el coordinate sferiche...
ciao ciao
Il tuo problema lo riassumo scrivendolo un poco meglio:
$int_{z=x^2+y^2}root(3)(x^2+y^2) dx dy dz$
Se usi, come suggerito, le coordinate cilindriche:
$\{(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)),(z=zeta):}$
dove poi:
$\{(dx=cos(theta)*drho-rho*sin(theta)*d theta),(dy=sin(theta)*drho+rho*cos(theta)*d theta),(dz= d zeta):}$
l'integrale si "riduce" a:
$int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} root(3)(rho^2)*(cos(theta)*drho-rho*sin(theta)*d theta)*(sin(theta)*drho+rho*cos(theta)*d theta)d zeta$
ovvero:
$int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(2/3)*cos(theta)sin(theta)*drho drho d zeta+ int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(5/3)cos(2*theta) drho d theta d zeta+ int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(8/3)*cos(theta)sin(theta)*d theta d theta d zeta$
Salvo errori reputo che questa sia la soluzione che cerchi... i dettagli del calcolo te li lascio volentieri.
P.S. ho inserito i limiti a $-oo$ e $+oo$ visto che non viene detto che il cilindro è limitato.
$int_{z=x^2+y^2}root(3)(x^2+y^2) dx dy dz$
Se usi, come suggerito, le coordinate cilindriche:
$\{(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)),(z=zeta):}$
dove poi:
$\{(dx=cos(theta)*drho-rho*sin(theta)*d theta),(dy=sin(theta)*drho+rho*cos(theta)*d theta),(dz= d zeta):}$
l'integrale si "riduce" a:
$int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} root(3)(rho^2)*(cos(theta)*drho-rho*sin(theta)*d theta)*(sin(theta)*drho+rho*cos(theta)*d theta)d zeta$
ovvero:
$int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(2/3)*cos(theta)sin(theta)*drho drho d zeta+ int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(5/3)cos(2*theta) drho d theta d zeta+ int_0^{2*pi} int_0^{1} int_{-oo}^{+oo} rho^(8/3)*cos(theta)sin(theta)*d theta d theta d zeta$
Salvo errori reputo che questa sia la soluzione che cerchi... i dettagli del calcolo te li lascio volentieri.
P.S. ho inserito i limiti a $-oo$ e $+oo$ visto che non viene detto che il cilindro è limitato.
il cilindro e limitato !! l'Equazione $z=root(2)(x^2+y^2)$ e quella di un cilindro limitato!!
E poi come mai hai trovato il dx dy e dz? nn si usa il determinante jacobiano uguale $ρ$ per le trasformazioni cilindriche??
E poi come mai hai trovato il dx dy e dz? nn si usa il determinante jacobiano uguale $ρ$ per le trasformazioni cilindriche??
sì infatti ho sbagliato ^_^ sorry ma ero di fretta
"Alberto87":
Ad Esempio come si fa un integrale triplo di una funzione(esempio radiceterza(x^2 + y^2)) su un cono di equazione z=radice(x^2+y^2)
Per un integrale triplo serve un dominio diverso da quello che dici tu.
Puoi prendere la parte interna di un cono, ma devi specificare meglio il dominio di integrazione.
Riprendo usando il mio precedente post:[
Il tuo problema lo riassumo scrivendolo un poco meglio:
$int_{z=x^2+y^2}root(3)(x^2+y^2) dx dy dz$
Se usi, come suggerito, le coordinate cilindriche:
$\{(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)),(z=zeta):}$
dove poi:
$J = [[cos(theta), -rho*sin(theta), 0],[sin(theta), rho*cos(theta), 0],[0,0,1]]$
$det (J) = rho$
da cui:
$int_0^(2*pi) int_0^1 int_(t_0)^(t_1) root(3)(rho^2)*rho d theta d rho d zeta$
Ed ora dovrei esserci... (controllate plz che in analisi non sono troppo bravo
)
P.S. ho inserito gli estremi di integrazione a $t_0$ e $t_1$ per $zeta$.
Il tuo problema lo riassumo scrivendolo un poco meglio:
$int_{z=x^2+y^2}root(3)(x^2+y^2) dx dy dz$
Se usi, come suggerito, le coordinate cilindriche:
$\{(x=rho*cos(theta)),(y=rho*sin(theta)),(z=zeta):}$
dove poi:
$J = [[cos(theta), -rho*sin(theta), 0],[sin(theta), rho*cos(theta), 0],[0,0,1]]$
$det (J) = rho$
da cui:
$int_0^(2*pi) int_0^1 int_(t_0)^(t_1) root(3)(rho^2)*rho d theta d rho d zeta$
Ed ora dovrei esserci... (controllate plz che in analisi non sono troppo bravo
)P.S. ho inserito gli estremi di integrazione a $t_0$ e $t_1$ per $zeta$.
*Franced :
come devo specificare il dominio di integrazione??
il dominio di integrazione e appunto il cono con quella equazione!! cioe devo integrare quella funzione di 2 variabili in quel cono!
come devo specificare il dominio di integrazione??
il dominio di integrazione e appunto il cono con quella equazione!! cioe devo integrare quella funzione di 2 variabili in quel cono!
Il cilindro ove tu integri rimanendo generico ha altezza infinita, quindi sono necessari dei limiti di altezza sostanzialmente... oppure ulteriori vincoli.
Secondo me la soluzione è la seguente....
Innanzitutto possiamo operare con coordinate polari perchè il dominio dove integrare è l'eq di una circonferenza centrata nell'origine con raggio UGUALE a "z".
quindi:
$x=z cos theta$
$y=z sen theta$
$z=z$
da cui:
$int_0^(+oo) int_0^(2 pi) z*z^(2/3) d theta dz$ dato che il raggio è fissato sparisce l'integrale che dipende dl $rho$ (inteso come raggio).
Innanzitutto possiamo operare con coordinate polari perchè il dominio dove integrare è l'eq di una circonferenza centrata nell'origine con raggio UGUALE a "z".
quindi:
$x=z cos theta$
$y=z sen theta$
$z=z$
da cui:
$int_0^(+oo) int_0^(2 pi) z*z^(2/3) d theta dz$ dato che il raggio è fissato sparisce l'integrale che dipende dl $rho$ (inteso come raggio).
Scusami franded avevi ragione!!!vi scrivo l'esercizio!!
se possodete il libro marcellini sbodrone, "Esercitazioni di matematica" volume 2 parte seconda,sono a pagina 238-239 numeri 3.89 e 3.91..
Ve ne scrivo 1 che nn mi riesce:
Calcolare gli integrali tripli:
$\int int int root(3)(x^2 + y^2) dx dy dz $
su C , dove C e il cono di vertice nel punto (0,0,-2) avente per base il cerchio di centro l'origine e raggio 1 contenuto nel piano xy
se possodete il libro marcellini sbodrone, "Esercitazioni di matematica" volume 2 parte seconda,sono a pagina 238-239 numeri 3.89 e 3.91..
Ve ne scrivo 1 che nn mi riesce:
Calcolare gli integrali tripli:
$\int int int root(3)(x^2 + y^2) dx dy dz $
su C , dove C e il cono di vertice nel punto (0,0,-2) avente per base il cerchio di centro l'origine e raggio 1 contenuto nel piano xy
"Alberto87":
Scusami franded avevi ragione!!!vi scrivo l'esercizio!!
Lo so che avevo ragione, altrimenti l'integrale triplo su un dominio avente
volume nullo (come ad esempio una superficie) è nullo...
lo sapresti risolvere quello?
$int_0^(2*pi) int_0^1 int_(-2)^(0) root(3)(rho^2)*rho d theta d rho d zeta$
Come precedentemente ricavato.
Come precedentemente ricavato.
Salve a tutti. Mi chiamo Antonio e mi sono appena iscritto, cercando in rete un aiuto per risolvere lo stesso esercizio!
Ho provato di tutto e, o il libro dà una soluzione errata, o davvero è qualcosa di assurdo.
Lord K, nell'ultima risposta hai dimenticato di inserire il determinante Jacobiano.
Ma in ogni caso, quell'impostazione non ci porterà al risultato voluto.
Il problema fondamentale di quest'esercizio sta, secondo il mio parere, nel fatto che il vertice del cono non è nell'origine e quindi occorre agire con un procedimento "non-canonico".
Ho provato un po' di tutto, oltre alle coordinate cilindriche, anche Retta, o Triangolo (b=1, h=2) ruotati di 2pi intorno all'asse z, integrazione con estremi le equazioni delle rette passanti per il vertice e i punti d'intersezione del bordo della circonferenza e gli assi x e y...
L'ipotenusa del triangolo ha valore (radical) 5, oppure 2cos(fi) (scusate, non so ancora usare i simboli)
ho perfino pensato di inserire (fi) che varia da 0 ad arccos((radical) 5)) oltre all'angolo (teta)...
mah...
Chi mi può aiutare?
Ah, l' Equazione cartesiana in questo caso qual è?
Ho provato di tutto e, o il libro dà una soluzione errata, o davvero è qualcosa di assurdo.
Lord K, nell'ultima risposta hai dimenticato di inserire il determinante Jacobiano.
Ma in ogni caso, quell'impostazione non ci porterà al risultato voluto.
Il problema fondamentale di quest'esercizio sta, secondo il mio parere, nel fatto che il vertice del cono non è nell'origine e quindi occorre agire con un procedimento "non-canonico".
Ho provato un po' di tutto, oltre alle coordinate cilindriche, anche Retta, o Triangolo (b=1, h=2) ruotati di 2pi intorno all'asse z, integrazione con estremi le equazioni delle rette passanti per il vertice e i punti d'intersezione del bordo della circonferenza e gli assi x e y...
L'ipotenusa del triangolo ha valore (radical) 5, oppure 2cos(fi) (scusate, non so ancora usare i simboli)
ho perfino pensato di inserire (fi) che varia da 0 ad arccos((radical) 5)) oltre all'angolo (teta)...
mah...
Chi mi può aiutare?
Ah, l' Equazione cartesiana in questo caso qual è?
[mod="adaBTTLS"]ad un anno "esatto" (+ 18 minuti) è stato riesumato questo topic.
sposto nella sezione di Analisi (perché la sezione Università è da chiudere).
benvenut* nel forum.[/mod]
sposto nella sezione di Analisi (perché la sezione Università è da chiudere).
benvenut* nel forum.[/mod]
coordinate cilindriche!
${(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=\zeta):}$
Così:
$\int\int\int_{c} root(3)(x^2+y^2)dxdydz =$
$= \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}d\rho\int_{-2(1-\rho)}^{0}[(\rho)^(2/3).\rho] d\zeta=$
$= 4\pi\int_{0}^{1}{\rho^(5/3) -\rho^(8/3)}d\rho =4\pi(3/8-3/11) =9/22\pi$, con la possibilità ch'ho sbagliato
qualche calcolo.
${(x=\rhocos\theta),(y=\rhosin\theta),(z=\zeta):}$
Così:
$\int\int\int_{c} root(3)(x^2+y^2)dxdydz =$
$= \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}d\rho\int_{-2(1-\rho)}^{0}[(\rho)^(2/3).\rho] d\zeta=$
$= 4\pi\int_{0}^{1}{\rho^(5/3) -\rho^(8/3)}d\rho =4\pi(3/8-3/11) =9/22\pi$, con la possibilità ch'ho sbagliato
qualche calcolo.
Grazie.
Il risultato è esatto!
Avevo risolto comunque, insistendo sulle limitazioni delle rette tra vertice e intersezione cerchio/assi x,y.
$ -2 <= z <= 0 $
$-z/2 -1 <= x <= z/2 + 1$
$-z/2 -1 <= y <= z/2 + 1$
dopodichè, passando sempre a coordinate cilindriche, abbiamo come estremi di integrazione:
$ 0 <= ρ <= z/2 + 1 $
$ 0 <= θ <= 2π$
$ -2 <= z <= 0 $
Il risultato è esatto!
Avevo risolto comunque, insistendo sulle limitazioni delle rette tra vertice e intersezione cerchio/assi x,y.
$ -2 <= z <= 0 $
$-z/2 -1 <= x <= z/2 + 1$
$-z/2 -1 <= y <= z/2 + 1$
dopodichè, passando sempre a coordinate cilindriche, abbiamo come estremi di integrazione:
$ 0 <= ρ <= z/2 + 1 $
$ 0 <= θ <= 2π$
$ -2 <= z <= 0 $
Salve, vorrei riaprire questa discussione perché non riesco a capire gli estremi di integrazione su Z. Come sono stati determinati?
"orazioster":
$= \int_{0}^{2\pi}d\theta\int_{0}^{1}d\rho\int_{-2(1-\rho)}^{0}[(\rho)^(2/3).\rho] d\zeta=$
.
Scusami ma non riesco a capire come dal cambiamento di coordinate risulta $-2(1-\rho)<=z<=0$ 
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