Integrali Tripli

[Intermat]

Ho dei dubbi su questi due integrali tripli.

$ int int int_D (dx dy dz)/((x+y+z+1)^3 $

$ D={ x>=0 , y>=0 , z>=0 , x+y+z<=1} $

Ora, io lo ho risolto integrando per fili (su sugerimento della professoressa) quindi ho fatto i seguenti passaggi:

$ in int_(D') dx dy int_0 ^ ((1-x-y)) dx/(x+y+z+1)^3 = $

$=int_0 ^1 dx int_0 ^(1-x) dy int_0 ^(1-x-y) dz/(x+y+z+1)^3 = $

$ =int_0 ^1 dx int_0 ^(1-x) -1/2 (x+y+1)^(-2)|_0 ^(1-x-y) dy=$

$ = -1/2 int_0 ^1 dx int_0 ^1 1/4 - 1/(x+y+1)^2 dy =$

$=-1/2 int_0 ^1 [1/4 y]_0 ^(1-x) + 1/(x+y+1)|_0 ^(1-x)=$

$ = -1/2 int_0 ^1 1/4(1-x) + 1/2 -1/(1+x) dx=$

$= -1/2 [1/4 x - x^2 /8 +1/2x - ln(1+x)]_0 ^1=$

$= -1/2 [1/4-1/8+1/2-ln2]= -5/16 + 1/2 ln2 $

Temo di aver sbagliato qualche conto/passaggio...perchè il risultato (non ho la soluzione) mi sembra un po' strano...rispetto ad altri integrali fatti.

L'altro integrale è il calcolo del volume della sfera attraverso una integrazione per strati (ho già risolto con le coordinate sferiche e per fili). Il dubbio sta in un mio passaggio a metà esercizio quando, "eliminata" la $ y $, ho fatto il passaggio in polari con le coordinate $x $ e $ z $.

$ int int int_S dxdydz $ con $ S={(x,y,z) in RR^3 : x^2 +y^2+z^2=1}$

$2 int_0^1 dz int int_(S_z) dxdy =$

$= 2 int_0 ^1 dz int _0^(sqrt(1-z^2)) dx int_0 ^(sqrt(1-x^2-z^2)) dy =$

$=2 int_0^1 int_0 ^(sqrt(1-z^2)) sqrt(1-x^2-z^2)dx$

Ora questo ultimo integrale lo posso vedere come un integrale doppio in $dx dz$ e quindi posso passare in coordinate polari. Facendo questo passaggio:

$2int_0^(2pi) d\theta int_0 ^1 sqrt(1-\rho^2) \rho d\rho =$

$=2* 2\pi (-1/2)*2/3 [1-\rho^2]_0^1=-2/3 2\pi (-1)= 4/3 \pi $

Ora il risultato mi viene...ma non sono convinto che quel passaggio in polari sia giusto. Ho sempre fatto il passaggio in polari quando avevo $x$ e $y$ e non quando avevo $x$ e $z$ però ho provato a fare così perchè alla fine le polari mi sembravano l'unico metodo per risolvere quell'integrale...

Ringrazio in anticipo chi avrà avuto la pazienza di leggere tutto e di rispondermi.

[Intermat]

Grazie TeM.
Per la verifica dei risultati conoscevo Wolframalpha...ma non sapevo come scrivere il dominio di un un integrale triplo...
Per il secondo integrale sei riuscito in un colpo solo a spiegarmi come fare e a capire quello che avevo scritto sul quaderno di appunti...infatti l'esercizio era stato impostato a lezione dalla professoressa che lo aveva risolto dicendo l'integrale doppio era l'area di un cerchio e quindi alla fine si doveva risolvere l'integrale in $ dz$ solo che non capivo il perchè e quindi avevo risolto a modo mio...