Integrali (soprattutto impropri) e confronti
Salve a tutti, innanzitutto chiedo scusa se già al mio primo topic (secondo con la presentazione) faccio già diverse domande, ma purtroppo ho questa necessità, l'impatto universitario è stato duro :/
Io avrei qualche problemino con gli integrali impropri, quelli dove non è possibile calcolare la primitiva, dove bisogna usare i confronti: ho capito qual è la logica, ovvero dove ho il problema (esempio in infinito) cerco di capire come si comporta la funzione, ma in pratica non so applicare ciò, ciò sia per il semplice che per l'asintotico... Quand'è che posso usarli (es. se f>0)? Che trucco posso usare per renderli utilizzabili in alcuni casi? Quali sono tutte le varie regole per svolgere quelli che potrei trovare (intendo regole come sen x ~ x e se x->0 e le altre)? Ripeto chiedo scusa ma mi serve proprio questa ripetizione (alle serie ci penserò un po' più in là), grazie!
Io avrei qualche problemino con gli integrali impropri, quelli dove non è possibile calcolare la primitiva, dove bisogna usare i confronti: ho capito qual è la logica, ovvero dove ho il problema (esempio in infinito) cerco di capire come si comporta la funzione, ma in pratica non so applicare ciò, ciò sia per il semplice che per l'asintotico... Quand'è che posso usarli (es. se f>0)? Che trucco posso usare per renderli utilizzabili in alcuni casi? Quali sono tutte le varie regole per svolgere quelli che potrei trovare (intendo regole come sen x ~ x e se x->0 e le altre)? Ripeto chiedo scusa ma mi serve proprio questa ripetizione (alle serie ci penserò un po' più in là), grazie!
Risposte
Il libro che dice al riguardo? Dove stai studiando? Le tue domande sono abbastanza standard, direi ...
Tutto quello che c'e' da sapere e' come si comporta \[\int_{0}^{+\infty} t^{\alpha}\log^\beta{(t)} dt\] e a questo riguardo credo tu riesca a trovare un ricettario completo su un qualsiasi libro di analisiuno/analisidue che puoi anche seguire pedissequamente.
Hai mai sentito parlando di polinomio/sviluppo/serie di Taylor? E' quella roba li. Torna indietro: poi gli integrali impropri vengono da se' in un paio di pomeriggi.
Tutto quello che c'e' da sapere e' come si comporta \[\int_{0}^{+\infty} t^{\alpha}\log^\beta{(t)} dt\] e a questo riguardo credo tu riesca a trovare un ricettario completo su un qualsiasi libro di analisiuno/analisidue che puoi anche seguire pedissequamente.
"VichingoInformatico":
(intendo regole come sen x ~ x e se x->0 e le altre)?
Hai mai sentito parlando di polinomio/sviluppo/serie di Taylor? E' quella roba li.
Torna indietro: poi gli integrali impropri vengono da se' in un paio di pomeriggi.
Sto studiando sul libro Analisi matematica 1 di bramanti pagani salsa e dagli appunti... Il professore ha spiegato prima tutti gli integrali, invece per una migliore comprensione mi consigli di iniziare (anzi, proseguire perchè le basi le ho) dalle serie?
"VichingoInformatico":
Il professore ha spiegato prima tutti gli integrali
Cioe'?
Sto dicendo che dovresti avere una certa confidenza con gli sviluppi di Taylor, IMHO.
Per esempio: da uno qualsiasi dei ricettari di cui parlavo nel post precedente, dovresti riuscire a leggere che \[\int_{0}^{b} \frac{1}{x^{\alpha}}\] - in generale non continua - esiste solo quando l'integranda non esplode troppo velocemente vicino allo zero (si dimostra che `troppo velocemente` corrisponde ad \(\alpha < 1\)).
Se per esempio ti venisse chiesto di studiare l'esistenza di \[\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{1 + \cos{x}}}:\] l'oggetto al denominatore e' uno zero vicino a \(\pi\): l'integranda quindi non e' continua su tutto l'intervallo di integrazione, i.e. non e' integrabile in senso Riemaniano, ma forse lo e' comunque impropriamente. Per essere integrabile in senso improprio (...improprio secondo Riemann), al denominatore devi avere uno zero di ordine almeno (o piu' loffio) di \(1 - \epsilon\). Ce l'hai?
Per capirlo credo che una buona strada sia ricondursi alle `potenze`, scrivendo il polinomio di Taylor centrato in \(\pi\).
Potresti scrivere \[\cos{x} \approx -1 + (x - \pi)^2/2\] e quindi scrivere l'integranda come \[|C| \frac{1}{|x - \pi|}\] - con \(C\) numero - che non ammette integrale nei punti in cui non e' definita*. Dunque \[\int_{0}^{\pi} \frac{1}{\sqrt{1 + \cos{x}}}\] non esiste.
... se non hai mai sentito parlare di sviluppi di Taylor pero' e' probabile che con gli esercizi proposti dal tuo professore al momento tu riesca a cavartela andando direttamente a vedere cosa c'e' scritto nel bigino.
Prima o poi dovrai passare per Taylor pero' - prima di buttarti di nuovo sul bigino!
___
* Quel modulo chiaramente non ti cambia nulla. Se proprio non ti fidi, vai a \(\pi\) una volta da destra e una volta da sinistra ...
mmm allora noi per gli integrali non abbiamo fatto taylor (vi ricordo che ha spiegato prima integrali e poi serie, farà a breve taylor per gli integrali)... Comunque ora delle serie (tranne le dimostrazioni, ma le imparerò a breve) ho imparato ad usare confronto semplice, asintotico, convergenza assoluta, criterio del rapporto, radice n-esima e leibniz, mi manca solo da capire Taylor (ovvero, come faccio ad approssimare una funzione, perchè ho capito come è strutturata la serie di taylor ma non capisco a cosa serve scegliere il polo di approssimazione e definire gli o piccoli)
Mi sono rivisto tutto e ho capito molte cose, però sia con appunti miei che di una mia colelga che libro non ho capito molto dello studio della funzione integrale... Ma proprio nulla, non so come vedere quali intervalli considerare, che relazioni ci sono tra f(x) e F(x), come si studiano segno, come scegliere gli estremi di integrazione (e con quale segno davanti) ma proprio nulla... Qualcuno ha un modo ANCHE MECCANICO per fare ciò (e per meccanico intendo anche regole secche tipo "vedi questa cosa, in caso 1 fai questo altrimenti quello" etc.)?
"VichingoInformatico":
Mi sono rivisto tutto e ho capito molte cose, però sia con appunti miei che di una mia colelga che libro non ho capito molto dello studio della funzione integrale... Ma proprio nulla, non so come vedere quali intervalli considerare, che relazioni ci sono tra f(x) e F(x), come si studiano segno, come scegliere gli estremi di integrazione (e con quale segno davanti) ma proprio nulla... Qualcuno ha un modo ANCHE MECCANICO per fare ciò (e per meccanico intendo anche regole secche tipo "vedi questa cosa, in caso 1 fai questo altrimenti quello" etc.)?
Sul forum ci dovrebbe essere da qualche parte un documento scritto da Camillo a tal proposito -un utente del nostro forum.
Potrebbe darti una mano. Altrimenti, va' nella bacheca di analisi e posta un esercizio che ti fa venire malditesta!
EDIT: viewtopic.php?f=36&t=25340
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