Integrali razionali con molteplicita>1
Ragazzi ho difficoltà a capire come impostare la scomposizione quando un polinomio ha radici reali con molteplicità maggiore di 1.So che al denominatore devo mettere tante volte il polinomio quanto è il grado $n$ con esponente crescenti fino a $n$:
$int(x^2)/(x^2+1)^2 dx$
Quindi sarebbe: $(x^2)/(x^2+1)^2 =(??)/(x^2+1) + (??)/(x^2+1)^2 $
Come faccio che mettere al numeratore?
E per questo ? $int(7x^2+5)/((x^2+1)^2 (x-2)^3 (x+5)) dx$
$(7x^2+5)/((x^2+1)^2 (x-2)^3 (x+5)) = (??)/(x^2+1)+(??)/(x^2+1)^2+(??)/(x-2)+(??)/(x-2)^2+(??)/(x-2)^3+(??)/(x-5)$
Che ci metto al posto dei $??$
$int(x^2)/(x^2+1)^2 dx$
Quindi sarebbe: $(x^2)/(x^2+1)^2 =(??)/(x^2+1) + (??)/(x^2+1)^2 $
Come faccio che mettere al numeratore?
E per questo ? $int(7x^2+5)/((x^2+1)^2 (x-2)^3 (x+5)) dx$
$(7x^2+5)/((x^2+1)^2 (x-2)^3 (x+5)) = (??)/(x^2+1)+(??)/(x^2+1)^2+(??)/(x-2)+(??)/(x-2)^2+(??)/(x-2)^3+(??)/(x-5)$
Che ci metto al posto dei $??$
Risposte
Spesso tramite opportuni raccoglimenti e completamenti di quadrati, ci si riduce a dover calcolare l'intergrle
\begin{align*}
\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n}\,\,dx,
\end{align*}
che per mezzo di una integrazione per parti ricorsiva, risulta:
\begin{align*}
I_{n-1}&=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\,\,dx= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} -\int x d\left(\frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\right) \\
&= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} -\int \frac{-2x^2({n-1})(1+x^2)^{n-2}\,\,dx}{\left(1+x^2\right)^{2n-2}} \\
&= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx = \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{x^2+1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx-2n\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx\\
& = \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{ 1}{\left(1+x^2\right)^{ {n-1} }} \,\,dx-2({n-1})\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx\\
&=\frac{x}{\left(1+t^2\right)^ {n-1}} +2(n-1)\cdot I_{n-1}-2(n-1)\cdot I_{n },
\end{align*}
da cui la formula ricorsiva:
\begin{align*}
I_n&= \frac{x}{(2n-2)\left(1+x^2\right)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}\cdot I_{n-1}.
\end{align*}
Cos\'i ad esempio, noto il fatto che $I_1 =\int 1/1+x^2 \,\,dt=\arctan x$
\begin{align*}
I_2&=\int \frac{1}{ (1+x^2)^2 }\,\,dx=\frac{x}{(4-2)\left(1+x^2\right)^{2-1}} +\frac{4-3}{4-2}\cdot I_{2-1}=\frac{x}{2\left(1+x^2\right) } +\frac{1}{ 2}\cdot I_{1}\\
&=\frac{x}{2\left(1+x^2\right) } +\frac{1}{ 2}\arctan x\\
I_3&=\int \frac{1}{ (1+x^2)^3 }\,\,dx=\frac{x}{(6-2)\left(1+t^2\right)^{3-1}} +\frac{6-3}{6-2}\cdot I_{3-1}=\frac{x}{4\left(1+x^2\right)^2 } +\frac{3}{ 4}\cdot I_{2}\\
&=\frac{x}{4\left(1+x^2\right)^2 }+\frac{3x}{8\left(1+x^2\right) } +\frac{3}{ 8}\arctan x.
\end{align*}
\begin{align*}
\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^n}\,\,dx,
\end{align*}
che per mezzo di una integrazione per parti ricorsiva, risulta:
\begin{align*}
I_{n-1}&=\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\,\,dx= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} -\int x d\left(\frac{1}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\right) \\
&= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} -\int \frac{-2x^2({n-1})(1+x^2)^{n-2}\,\,dx}{\left(1+x^2\right)^{2n-2}} \\
&= \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{x^2}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx = \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{x^2+1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx-2n\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx\\
& = \frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}} +2({n-1})\int \frac{ 1}{\left(1+x^2\right)^{ {n-1} }} \,\,dx-2({n-1})\int \frac{1}{\left(1+x^2\right)^{ n }} \,\,dx\\
&=\frac{x}{\left(1+t^2\right)^ {n-1}} +2(n-1)\cdot I_{n-1}-2(n-1)\cdot I_{n },
\end{align*}
da cui la formula ricorsiva:
\begin{align*}
I_n&= \frac{x}{(2n-2)\left(1+x^2\right)^{n-1}} +\frac{2n-3}{2n-2}\cdot I_{n-1}.
\end{align*}
Cos\'i ad esempio, noto il fatto che $I_1 =\int 1/1+x^2 \,\,dt=\arctan x$
\begin{align*}
I_2&=\int \frac{1}{ (1+x^2)^2 }\,\,dx=\frac{x}{(4-2)\left(1+x^2\right)^{2-1}} +\frac{4-3}{4-2}\cdot I_{2-1}=\frac{x}{2\left(1+x^2\right) } +\frac{1}{ 2}\cdot I_{1}\\
&=\frac{x}{2\left(1+x^2\right) } +\frac{1}{ 2}\arctan x\\
I_3&=\int \frac{1}{ (1+x^2)^3 }\,\,dx=\frac{x}{(6-2)\left(1+t^2\right)^{3-1}} +\frac{6-3}{6-2}\cdot I_{3-1}=\frac{x}{4\left(1+x^2\right)^2 } +\frac{3}{ 4}\cdot I_{2}\\
&=\frac{x}{4\left(1+x^2\right)^2 }+\frac{3x}{8\left(1+x^2\right) } +\frac{3}{ 8}\arctan x.
\end{align*}
@andros: Noisemaker ti ha suggerito un ottimo modo per risolvere il primo integrale. Per quanto riguarda la tua richiesta, la risposta è la seguente: se a denominatore il polinomio "di base" (cioè quello considerato a prescindere delle potenze per la molteplicità) ha grado $r$, a numeratore deve avere grado $r-1$. Dal momento che il metodo di decomposizione usa a denominatore solo polinomi di primo e secondo grado, a numeratore avrai, rispettivamente, sempre e solo costanti o polinomi di primo grado.
Il sistema può essere usato solo con pilinomi di 1 o 2 grado?
Non è una questione di "usare solo": si può dimostrare che, quando effettui una decomposizione su $RR$ in fattori irriducibili di un polinomio, questa è costituita solo da polinomi di primo grado (e loro potenze) e da polinomi di secondo grado con discriminante negativo (e loro potenze). Qualsiasi polinomio di grado maggiore o uguale a 3 può essere decomposto attraverso questi.
"ciampax":
Non è una questione di "usare solo": si può dimostrare che, quando effettui una decomposizione su $RR$ in fattori irriducibili di un polinomio, questa è costituita solo da polinomi di primo grado (e loro potenze) e da polinomi di secondo grado con discriminante negativo (e loro potenze). Qualsiasi polinomio di grado maggiore o uguale a 3 può essere decomposto attraverso questi.
Giusto.
Quindi $(x^2)/(x^2+1)^2 =(ax+b)/(x^2+1) + (cx+d)/(x^2+1)^2 $
Esatto.
$(7x^2+5)/((x^2+1)^2 (x-2)^3 (x+5)) = (ax+b)/(x^2+1)+(cx+d)/(x^2+1)^2+(e)/(x-2)+(f)/(x-2)^2+(g)/(x-2)^3+(h)/(x-5)$
corretto?
corretto?
Sì.
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