Integrali, radici complesse e riscritture (a me) difficili
$\int 1/(9x^2+4) dx = \int 1/4*1/(1+((3x)/2)^2) dx = $ ...t=3x/2...ecc...
Io gli integrali come questo in cui bisogna fare queste riscritture li soffro tantissimo, tra un mese ho l'esame di analisi 1 e non so che fare!
Io l'avevo riscritto così
$\int 1/((3x+2)(3x-2)+8) dx $
..ma poi proprio il nulla...
Che poi il prof a lezione ha fatto un solo esempio di questi...
Qualcuno mi può dare qualche consiglio su queste riscritture?
Io gli integrali come questo in cui bisogna fare queste riscritture li soffro tantissimo, tra un mese ho l'esame di analisi 1 e non so che fare!
Io l'avevo riscritto così
$\int 1/((3x+2)(3x-2)+8) dx $
..ma poi proprio il nulla...
Che poi il prof a lezione ha fatto un solo esempio di questi...
Qualcuno mi può dare qualche consiglio su queste riscritture?
Risposte
Se poni $t=(3x)/2$ come ti è stato detto, si tratta di un integrale elementare.
Ciao zaza390,
Ferma restando la correttezza della risposta di killing_buddha, ti fornisco alcune indicazioni dato che mi pare di capire che tu sia un po' nel panico
Quando vedi degli integrali del tipo di quello proposto, con una costante a numeratore e la somma di due quadrati a denominatore, tra le prime cose che dovrebbero venirti in mente è quella di ricondurti all'integrale indefinito elementare
$int frac{1}{1 + x^2} dx = arctan x + c $
Per fare questo è necessario che a denominatore dell'integrale proposto compaia qualcosa del tipo $1 + [f(x)]^2 $ e quindi devi fare qualche operazione per arrivare a questo obiettivo, mentre riscrivere l'integrale come l'hai riscritto tu non porta a nulla di buono, anzi complica la situazione di partenza. Quindi:
$\int 1/(9x^2+4) dx = \int frac{dx}{4[1+((3x)/2)^2]} = 1/4 \int dx/(1+((3x)/2)^2) $
A questo punto la sostituzione da operare viene abbastanza naturale: $t := frac{3x}{2} $ come ti è stato giustamente suggerito dal tuo professore ed anche da killing_buddha. Attenzione però che per riscrivere l'integrale in termini della nuova variabile $t$ devi ricordarti di trovare anche $dx$ in termini di $dt$: questo però non costituisce un grosso problema perché si vede subito che $dt = frac{3}{2} dx \implies dx = frac{2}{3} dt $
Quindi si ha:
$\int 1/(9x^2+4) dx = 1/4 \int dx/(1+((3x)/2)^2) = 1/4 \cdot 2/3 \int dt/(1+t^2) = 1/6 \int dt/(1+t^2) $
L'ultimo scritto è proprio l'integrale indefinito elementare già citato, per cui si ha:
$\int 1/(9x^2+4) dx = 1/4 \int dx/(1+((3x)/2)^2) = 1/6 \int dt/(1+t^2) = 1/6 arctan t + c $
A questo punto, ricordandoci che per la posizione effettuata $t = frac{3x}{2} $, in definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\int \frac{1}{9x^2+4} dx = \frac{1}{6}\,\arctan\bigg(\frac{3x}{2}\bigg) + c}
\end{equation}[/tex]
Ferma restando la correttezza della risposta di killing_buddha, ti fornisco alcune indicazioni dato che mi pare di capire che tu sia un po' nel panico
"zaza390":
tra un mese ho l'esame di analisi 1 e non so che fare!
Quando vedi degli integrali del tipo di quello proposto, con una costante a numeratore e la somma di due quadrati a denominatore, tra le prime cose che dovrebbero venirti in mente è quella di ricondurti all'integrale indefinito elementare
$int frac{1}{1 + x^2} dx = arctan x + c $
Per fare questo è necessario che a denominatore dell'integrale proposto compaia qualcosa del tipo $1 + [f(x)]^2 $ e quindi devi fare qualche operazione per arrivare a questo obiettivo, mentre riscrivere l'integrale come l'hai riscritto tu non porta a nulla di buono, anzi complica la situazione di partenza. Quindi:
$\int 1/(9x^2+4) dx = \int frac{dx}{4[1+((3x)/2)^2]} = 1/4 \int dx/(1+((3x)/2)^2) $
A questo punto la sostituzione da operare viene abbastanza naturale: $t := frac{3x}{2} $ come ti è stato giustamente suggerito dal tuo professore ed anche da killing_buddha. Attenzione però che per riscrivere l'integrale in termini della nuova variabile $t$ devi ricordarti di trovare anche $dx$ in termini di $dt$: questo però non costituisce un grosso problema perché si vede subito che $dt = frac{3}{2} dx \implies dx = frac{2}{3} dt $
Quindi si ha:
$\int 1/(9x^2+4) dx = 1/4 \int dx/(1+((3x)/2)^2) = 1/4 \cdot 2/3 \int dt/(1+t^2) = 1/6 \int dt/(1+t^2) $
L'ultimo scritto è proprio l'integrale indefinito elementare già citato, per cui si ha:
$\int 1/(9x^2+4) dx = 1/4 \int dx/(1+((3x)/2)^2) = 1/6 \int dt/(1+t^2) = 1/6 arctan t + c $
A questo punto, ricordandoci che per la posizione effettuata $t = frac{3x}{2} $, in definitiva si ha:
[tex]\begin{equation}
\boxed{\int \frac{1}{9x^2+4} dx = \frac{1}{6}\,\arctan\bigg(\frac{3x}{2}\bigg) + c}
\end{equation}[/tex]
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