Integrali per Sostituzione e calcolo del differenziale

[Biagio2580]

Ciao a tutti ragazzi , sto svolgendo un'esercizio di un'esame di analisi , e non mi è chiara una cosa del seguente integrale :
$ \int 2/(1+tanx)^2 dx $

Nella correzione della prova il primo procedimento è quello della sostituzione , ovvero che tan(x)=t , e qui sorge il problema: quando cambia il differenziale , che consisterebbe nel fare la derivata di tan(x)(che dovrebbe essere $ 1/(cos^2x)$), mi da come soluzione dx = $1/(1+t^2)$, che è la derivata di arctan(x), qualcuno sa spiegarmi come ha fatto ?
Spero di essere stato abbastanza chiaro , grazie in anticipo a tutti!

[Mephlip]

Per ogni $x \in \left(-\pi/2,\pi/2\right)$, è $[\tan x=t] \iff [x=\arctan t]$.

Sei sicuro che l'integrale sia indefinito? O che non venga specificato di trovare una primitiva nell'intervallo $\left(-\pi/2,\pi/2\right)$?

[pilloeffe]

Ciao Biagio2580,

Beh, questo è facile:

$1/(cos^2x) = (sin^2 x + cos^2 x)/(cos^2x) = tan^2 x + 1 = t^2 + 1 $

[@melia]

$dt=1/(cos^2x) dx= (sin^2x+cos^2x)/(cos^2x) dx=(tan^2x+1)dx$ da cui $dt/(tan^2x+1)=dx$ cioè $dt/(t^2+1)=dx$

[gugo82]

@Biagio2580: Potresti leggere questi fogli.

[Biagio2580]

"Mephlip":Per ogni $x \in \left(-\pi/2,\pi/2\right)$, è $[\tan x=t] \iff [x=\arctan t]$.

Sei sicuro che l'integrale sia indefinito? O che non venga specificato di trovare una primitiva nell'intervallo $\left(-\pi/2,\pi/2\right)$?

Si l'integrale è indefinito , ma in base a cosa posso dire che tan(x)=t è uguale a x=arctan(t)?
Purtroppo non avendo fatto trigonometria alle superiori queste cose mi creano spesso problema

[Biagio2580]

"gugo82":@Biagio2580: Potresti leggere questi fogli.

Grazie appena posso cerco di guardarli

[pilloeffe]

Metodo senza sostituzioni:

$ \int \frac{2}{(1 + tan x)^2} \text{d}x = \int \frac{2 cos^2 x}{(sin x + cos x)^2} \text{d}x = \int \frac{1 + cos(2x)}{sin^2x +2sin x cos x + cos^2 x} \text{d}x = $

$ = \int \frac{1 + cos(2x)}{1 + sin(2x)} \text{d}x = \int \frac{1}{1 + sin(2x)} \text{d}x + \int \frac{cos(2x)}{1 + sin(2x)} \text{d}x = $

$ = \int \frac{sin^2 x + cos^2 x}{(sin x + cos x)^2} \text{d}x + 1/2 ln[1 + sin(2x)] = \frac{sin x}{sin x + cos x} + 1/2 ln(sin x + cos x)^2 + c = $

$ = \frac{sin x}{sin x + cos x} + ln|sin x + cos x| + c = \frac{sin x + (sin x + cos x) ln|sin x + cos x|}{sin x + cos x} + c = $

$ = \frac{tan x + (1 + tan x) ln|sin x + cos x|}{1 + tan x} + c = \frac{tan x}{1 + tan x} + ln|sin x + cos x| + c$