Integrali per parti

[materions]

Ciao a tutti,
ho un pò di integrali che mi hanno dato qualche problema nello svolgimento per parti, sono i seguenti;

$int sin^4 dx$

$int e^(2x) sin5x dx$

$int (xe^(arcsin x))/sqrt(1-x^2)dx$

$int sin(log (x))dx$

$int log(x + sqrt(1+x^2))dx$

$int (arcsin (x))(xdx/sqrt(1-x^2))$

Se qualcuno riuscisse a farmi vedere i passaggi gli sarei grato!
Ringrazio in anticipo,
salve a tutti.

[_nicola de rosa]

"materions":Ciao a tutti,
ho un pò di integrali che mi hanno dato qualche problema nello svolgimento per parti, sono i seguenti;

$int sin^4 dx$

$int e^(2x) sin5x dx$

$int (xe^(arcsin x))/sqrt(1-x^2)dx$

$int sin(log (x))dx$

$int log(x + sqrt(1+x^2))dx$

$int (arcsin (x))(xdx/sqrt(1-x^2))$

Se qualcuno riuscisse a farmi vedere i passaggi gli sarei grato!
Ringrazio in anticipo,
salve a tutti.

1)$sin^4x=sin^2x*sin^2x=sin^2x*(1-cos^2x)=sin^2x-sin^2x*cos^2x=sin^2x-(sinx*cosx)^2=sin^2x-(1/2*2sinxcosx)^2$
= $sin^2x-1/4*sin^2(2x)=1/2*(1-cos2x)-1/4*1/2*(1-cos4x)=3/8-1/2*cos2x+1/8cos4x$ per cui
$intsin^4xdx=int(3/8-1/2*cos2x+1/8cos4x)dx=3/8x-1/4*sin2x+1/32*sin4x+K$
2)$inte^(2x)cos(5x)dx=1/2*e^(2x)cos(5x)+5/2*inte^(2x)sin(2x)dx=1/2*e^(2x)cos(5x)+5/2*(1/2*e^(2x)sin(5x)-5/2*inte^(2x)cos(5x)dx)$
=$1/2*e^(2x)cos(5x)+5/4*e^(2x)sin(5x)-25/4*inte^(2x)cos(5x)dx$ cioè
$inte^(2x)cos(5x)dx+25/4*inte^(2x)cos(5x)dx=1/2*e^(2x)cos(5x)+5/4*e^(2x)sin(5x)$ da cui
$29/4*inte^(2x)cos(5x)dx=1/2*e^(2x)cos(5x)+5/4*e^(2x)sin(5x)->inte^(2x)cos(5x)dx=4/29*(1/2*e^(2x)cos(5x)+5/4*e^(2x)sin(5x))$
=$1/29*e^(2x)*(2cos(5x)+5sin(5x))+K$
3)si prende come fattore differenziale $x/(sqrt(1-x^2))$ una cui primitiva è $-sqrt(1-x^2)$ e si integra per parti due volte
$int (xe^(arcsin x))/sqrt(1-x^2)dx=-sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)+inte^(arcsinx)dx=-sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)+xe^(arcsinx)-int (xe^(arcsin x))/sqrt(1-x^2)dx$ da cui
$2*int (xe^(arcsin x))/sqrt(1-x^2)dx=-sqrt(1-x^2)e^(arcsinx)+xe^(arcsinx)->int (xe^(arcsin x))/sqrt(1-x^2)dx=1/2*e^(arcsinx)(x-sqrt(1-x^2))+K$

4)$intsin(lnx)dx=xsin(lnx)-intcos(lnx)dx=x*sin(lnx)-x*cos(lnx)-intsin(lnx)dx$ $->$
$2intsin(lnx)dx=x*sin(lnx)-x*cos(lnx)->intsin(lnx)dx=1/2*x*(sin(lnx)-cos(lnx)+K$

5)$intln(x+sqrt(1+x^2))dx=x*ln(x+sqrt(1+x^2))-intx/(sqrt(1+x^2))dx=x*ln(x+sqrt(1+x^2))-sqrt(1+x^2)+K$

6)non riesco a capire la traccia, scrivila meglio

[materions]

La 6 è la seguente:

$int arcsin x (xdx/sqrt(1-x^2))$

grazie delle risposte precedenti,
ciao.

[fireball1]

$int x/sqrt(1-x^2) arcsinx dx = -sqrt(1-x^2)arcsinx+int sqrt(1-x^2)*1/(sqrt(1-x^2)) dx = -sqrt(1-x^2)arcsinx + x