Integrali per funzioni dispari
ciao a tutti, chiedo scusa se la mia domanda può essere banale.
mi trovo a dover calcolare un integrale doppio di una funzione dispari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle x.
per definizione io so che l'integrale di una funzione corrisponde all'area compresa tra la funzione e l'asse delle x, quindi, per una funzione dispari, l'integrale si annulla.
il mio dubbio qual'è??
svolgendo l'esame di meccanica razionale ero chiamato a determinare l'area di lamine, di fugure regolari, centrate nell'origine, e spesso simmetriche ad entrambe gli assi. l'area però, è di tutta la figura, quindi anche quella facente parte delle y negative.
perché io devo considerare 0 quell'integrale(che corrisponde a dirmi soltanto che le due aree sono uguali) e non posso usare la formula delle funzioni pari, ossia, moltiplicare 2 volte l'integrale di metà figura, detto banalmente????
mi trovo a dover calcolare un integrale doppio di una funzione dispari, quindi simmetrica rispetto all'asse delle x.
per definizione io so che l'integrale di una funzione corrisponde all'area compresa tra la funzione e l'asse delle x, quindi, per una funzione dispari, l'integrale si annulla.
il mio dubbio qual'è??
svolgendo l'esame di meccanica razionale ero chiamato a determinare l'area di lamine, di fugure regolari, centrate nell'origine, e spesso simmetriche ad entrambe gli assi. l'area però, è di tutta la figura, quindi anche quella facente parte delle y negative.
perché io devo considerare 0 quell'integrale(che corrisponde a dirmi soltanto che le due aree sono uguali) e non posso usare la formula delle funzioni pari, ossia, moltiplicare 2 volte l'integrale di metà figura, detto banalmente????
Risposte
Non è che la domanda è banale, il problema è che hai le idee confuse sul concetto di integrale. Un integrale può significare tante cose e non solo una "area sotto la curva", come sciaguratamente ci insegnano da piccoli. Quando abbiamo una funzione di una variabile \(f(x)\) allora \(\int_a^bf(x)dx\) è effettivamente l'area (con segno) sottesa dal grafico di \(f\). Questo vale anche per integrali doppi: l'integrale \(\iint_{[a, b] \times [c, d]} f(x, y)dxdy\) di una funzione di due variabili è il volume (con segno) sotteso dal grafico di \(f\).
Qui però finisce questa interpretazione. Quando calcoli l'area di una figura piana \(F\) stai calcolando
\[\iint_{F}1 dx dy\]
e NON una area sottesa dal grafico di qualche funzione. Intuitivamente stai sommando l'area di tutti i rettangolini di base \(dx\) e altezza \(dy\) contenuti in \(F\). Quindi non ha senso applicare le formule per le simmetrie di grafici di funzione, come stai pensando di fare.
Ti suggerisco, comunque, di rivederti bene gli integrali multipli dal libro di teoria, quando hai un po' di tempo.
Qui però finisce questa interpretazione. Quando calcoli l'area di una figura piana \(F\) stai calcolando
\[\iint_{F}1 dx dy\]
e NON una area sottesa dal grafico di qualche funzione. Intuitivamente stai sommando l'area di tutti i rettangolini di base \(dx\) e altezza \(dy\) contenuti in \(F\). Quindi non ha senso applicare le formule per le simmetrie di grafici di funzione, come stai pensando di fare.
Ti suggerisco, comunque, di rivederti bene gli integrali multipli dal libro di teoria, quando hai un po' di tempo.
hai ragione, mi sono confuso...avevo un integrale doppio, definito su una figura piana, di una funzione dispari...ho associato male le cose.
grazie mille e scusate del disturbo
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