Integrali: ordine e pt. principale; serie di Taylor
Salve a tutti,
Volevo chiedere consigli in merito a due "esercizi particolari" (se così si possono chiamare) che vedo normalmente sui temi d'esame di analisi 1, e cioè:
- Calcolare ordine e parte principale di un integrale (o di una funzione in generale)
- Calcolare il polinomio di Taylor/McLaurin relativo ad un integrale
Nelle soluzioni del prof, non vengono esplicitati tutti i passaggi per la risoluzione (nè tantomeno riesco a trovarne sui libri di testo).
Qualcuno può aiutarmi a trovare un procedimento generale per questi due esercizi?
Allego due screen di due esercizi come questi, nelle soluzioni di alcuni temi d'esame:
Grazie a tutti in anticipo,
Volevo chiedere consigli in merito a due "esercizi particolari" (se così si possono chiamare) che vedo normalmente sui temi d'esame di analisi 1, e cioè:
- Calcolare ordine e parte principale di un integrale (o di una funzione in generale)
- Calcolare il polinomio di Taylor/McLaurin relativo ad un integrale
Nelle soluzioni del prof, non vengono esplicitati tutti i passaggi per la risoluzione (nè tantomeno riesco a trovarne sui libri di testo).
Qualcuno può aiutarmi a trovare un procedimento generale per questi due esercizi?
Allego due screen di due esercizi come questi, nelle soluzioni di alcuni temi d'esame:
Grazie a tutti in anticipo,
Risposte
Il rpimo essercizio chiede di trovare parte principale e ordine per $x rarr 1 $ di $F(x )$.
$F(x) $ è infinitesimo per $ x rarr 1 $ cioè tende a $0$.
Per trovare di che ordine è lo comparo con l'infinitesimo campione che in questo caso sarà $(x-1 )$ ok?
Allora imposti il calcolo di $lim_(x rarr 1) (F(x))/(x-1)^a $ e cerchi di determinare per quale valore di $a $ quel limite sarà un numero finito e $ne 0$.Ok ? Tale numero $a $ è l'ordine di infinitesimo cercato.
Il limite si presenta sotto forma indeterminata ed essendo verificate le condizioni del teorema di De L'Hopital lo usa, poi usa alcuni limiti notevoli etc etc . [ mi sembra - non ho verificato bene- che a un certo punto dei calcoli ci sia al denominatore un $x $ di troppo..]
$F(x) $ è infinitesimo per $ x rarr 1 $ cioè tende a $0$.
Per trovare di che ordine è lo comparo con l'infinitesimo campione che in questo caso sarà $(x-1 )$ ok?
Allora imposti il calcolo di $lim_(x rarr 1) (F(x))/(x-1)^a $ e cerchi di determinare per quale valore di $a $ quel limite sarà un numero finito e $ne 0$.Ok ? Tale numero $a $ è l'ordine di infinitesimo cercato.
Il limite si presenta sotto forma indeterminata ed essendo verificate le condizioni del teorema di De L'Hopital lo usa, poi usa alcuni limiti notevoli etc etc . [ mi sembra - non ho verificato bene- che a un certo punto dei calcoli ci sia al denominatore un $x $ di troppo..]
"Camillo":
Il rpimo essercizio chiede di trovare parte principale e ordine per $x rarr 1 $ di $F(x )$.
$F(x) $ è infinitesimo per $ x rarr 1 $ cioè tende a $0$.
Per trovare di che ordine è lo comparo con l'infinitesimo campione che in questo caso sarà $(x-1 )$ ok?
Allora imposti il calcolo di $lim_(x rarr 1) (F(x))/(x-1)^a $ e cerchi di determinare per quale valore di $a $ quel limite sarà un numero finito e $ne 0$.Ok ? Tale numero $a $ è l'ordine di infinitesimo cercato.
Il limite si presenta sotto forma indeterminata ed essendo verificate le condizioni del teorema di De L'Hopital lo usa, poi usa alcuni limiti notevoli etc etc . [ mi sembra - non ho verificato bene- che a un certo punto dei calcoli ci sia al denominatore un $x $ di troppo..]
Riguardo l'infinitesimo campione invece come si fa a determinarlo?
Se $ x rarr 0 $ qual è la più semplice espressione che va a $0$ ? $x$
se $ x rarr 12 $ la più semplice espressione che va a $ 0 $ è $x-12$.
In generale se $ x rarr alpha $ mi confronterò con l'infinitesimo campione che sarà $ x -alpha $.
se $ x rarr 12 $ la più semplice espressione che va a $ 0 $ è $x-12$.
In generale se $ x rarr alpha $ mi confronterò con l'infinitesimo campione che sarà $ x -alpha $.
"Camillo":
Se $ x rarr 0 $ qual è la più semplice espressione che va a $0$ ? $x$
se $ x rarr 12 $ la più semplice espressione che va a $ 0 $ è $x-12$.
In generale se $ x rarr alpha $ mi confronterò con l'infinitesimo campione che sarà $ x -alpha $.
Capito, grazie. E questo vale in generale per tutti gli infinitesimi, o ce ne possono essere alcuni che richiedono infinitesimi campione "particolari"?
Sì vale per " default ", naturalmente nessuno mi vieta di voler calcolare l'ordine di infinitesimo di una funzione per $x rarr alpha"$ paragonandola con $(x-alpha) ^(2/3) $ad esempio invece che con $(x-alpha)$.
Secondo esercizio - Determinare il polinomio di Mc Laurin di 3° grado per la funzione $f(x)= int sqrt(1+cos^2x)$.
Non trovo il risultato indicato dalla prof cioè $P_3(x)= sqrt(2)*x-sqrt(2)*x^3/3 $ bensì $P_3(x)= sqrt(2)x -sqrt(2)*x^3/12$ confermato anche da Derive....
Per come impostare l'esercizio basta ricordare, arrestando lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine, che :
$P_3(x)= f(0)+x*f'(0)+x^2/(2!)*f''(0) +x^3/(3!)+ f'''(0)$.
Ovvio che $f(0)=0 $; $f'(x)= sqrt(1+cos^2x) rarr f'(0)= sqrt(2) rarr x*f'(0)= sqrt(2)*x $ etc etc .
Se qualche volonteroso vuole controllare lo sviluppo ...
Non trovo il risultato indicato dalla prof cioè $P_3(x)= sqrt(2)*x-sqrt(2)*x^3/3 $ bensì $P_3(x)= sqrt(2)x -sqrt(2)*x^3/12$ confermato anche da Derive....
Per come impostare l'esercizio basta ricordare, arrestando lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine, che :
$P_3(x)= f(0)+x*f'(0)+x^2/(2!)*f''(0) +x^3/(3!)+ f'''(0)$.
Ovvio che $f(0)=0 $; $f'(x)= sqrt(1+cos^2x) rarr f'(0)= sqrt(2) rarr x*f'(0)= sqrt(2)*x $ etc etc .
Se qualche volonteroso vuole controllare lo sviluppo ...
"Camillo":
Secondo esercizio - Determinare il polinomio di Mc Laurin di 3° grado per la funzione $f(x)= int sqrt(1+cos^2x)$.
Non trovo il risultato indicato dalla prof cioè $P_3(x)= sqrt(2)*x-sqrt(2)*x^3/3 $ bensì $P_3(x)= sqrt(2)x -sqrt(2)*x^3/12$ confermato anche da Derive....
Per come impostare l'esercizio basta ricordare, arrestando lo sviluppo di Mc Laurin al terzo ordine, che :
$P_3(x)= f(0)+x*f'(0)+x^2/(2!)*f''(0) +x^3/(3!)+ f'''(0)$.
Ovvio che $f(0)=0 $; $f'(x)= sqrt(1+cos^2x) rarr f'(0)= sqrt(2) rarr x*f'(0)= sqrt(2)*x $ etc etc .
Se qualche volonteroso vuole controllare lo sviluppo ...
Grazie, quindi va considerato come un normale sviluppo di McLaurin.
Il dubbio è se invece che un integrale indefinito, fosse uno definito con un'incognita a uno dei due estremi di integrazione?
Avevo visto anche esercizi simili, se serve magari ne cerco e ne scrivo qui qualcuno.
Sì metti qualche esercizio.
Ho trovato questi due, la richiesta è la stessa in entrambi (Taylor per n = 2):
1)
$\int_{0}^{2x} e^(arcsin(sin(t)))dt$
2)
$\int_{2}^{x^3} e^(2t^2) dt$
1)
$\int_{0}^{2x} e^(arcsin(sin(t)))dt$
2)
$\int_{2}^{x^3} e^(2t^2) dt$
Un'altra domanda riguardo la parte principale, invece, si calcola come il risultato del limite moltiplicato per l'infinitesimo campione elevato all'ordine trovato?
Ad esempio nel primo esercizio il limite dà come risultato -1/3, e ordine = 3.
La parte principale è quindi: $-1/3(x-1)^3$ giusto?
Ad esempio nel primo esercizio il limite dà come risultato -1/3, e ordine = 3.
La parte principale è quindi: $-1/3(x-1)^3$ giusto?
"Carmine_XX":
Un'altra domanda riguardo la parte principale, invece, si calcola come il risultato del limite moltiplicato per l'infinitesimo campione elevato all'ordine trovato?
Ad esempio nel primo esercizio il limite dà come risultato -1/3, e ordine = 3.
La parte principale è quindi: $-1/3(x-1)^3$ giusto?
Sì esatto.
Sviluppo di Mc Laurin con $n=2$
1) $F(x) =int_0^(2x) e^[arcsin(sin t)] dt $ $F(0)=0 $
$F '(x) = e^[arcsin(sin2 x)] *2 $ -[derivata di funzione composta !!] ma $arcsin(sin 2x)=2x $ ;$F'(0) = e^0*2=2 $ $F''(x)= 4*e^(2x) $ -----> $ F''(0)= 4 $. $P_2(x)= 2x+2x^2$.
Adesso prova a farli tu che ti ho aiutato anche troppo ...
1) $F(x) =int_0^(2x) e^[arcsin(sin t)] dt $ $F(0)=0 $
$F '(x) = e^[arcsin(sin2 x)] *2 $ -[derivata di funzione composta !!] ma $arcsin(sin 2x)=2x $ ;$F'(0) = e^0*2=2 $ $F''(x)= 4*e^(2x) $ -----> $ F''(0)= 4 $. $P_2(x)= 2x+2x^2$.
Adesso prova a farli tu che ti ho aiutato anche troppo ...
"Camillo":
Sviluppo di Mc Laurin con $n=2$
1) $F(x) =int_0^(2x) e^[arcsin(sin t)] dt $ $F(0)=0 $
$F '(x) = e^[arcsin(sin2 x)] *2 $ -[derivata di funzione composta !!] ma $arcsin(sin 2x)=2x $ ;$F'(0) = e^0*2=2 $ $F''(x)= 4*e^(2x) $ -----> $ F''(0)= 4 $. $P_2(x)= 2x+2x^2$.
Adesso prova a farli tu che ti ho aiutato anche troppo ...
Penso di aver capito; in sostanza quando ho un'incognita in uno dei due estremi (l'altro estremo se è una costante non lo considero), derivo l'integrale sostituendo all'incognita l'estremo di integrazione, e moltiplico il risultato per la derivata dell'estremo di integrazione, giusto? E poi via via calcolo le derivate successive fino all'ordine richiesto.
Sì . Due osservazioni :
*se hai $int_x^0 f(t)dt $ ti conviene riscriverlo come $ - int_0^x f(t)dt $ e poi procedere in modo standard
* se invece è del tipo $int_(2x)^(3x)f(t)dt $ allora conviene considerare un punto non meglio identificato chiamiamolo $x_0 $ tale che sia $2x< x_0 < 3x $ e spezzare l'integrale in $int_(2x)^(x_0)f(t)dt +int_(x_0)^(3x)f(t)dt = -int_(x_0)^(2x)f(t)dt +int_(x_0)^(3x)f(t)dt $ etc etc .
P.S. Devi dare Analisi 1 a Settembre al Polimi ?
*se hai $int_x^0 f(t)dt $ ti conviene riscriverlo come $ - int_0^x f(t)dt $ e poi procedere in modo standard
* se invece è del tipo $int_(2x)^(3x)f(t)dt $ allora conviene considerare un punto non meglio identificato chiamiamolo $x_0 $ tale che sia $2x< x_0 < 3x $ e spezzare l'integrale in $int_(2x)^(x_0)f(t)dt +int_(x_0)^(3x)f(t)dt = -int_(x_0)^(2x)f(t)dt +int_(x_0)^(3x)f(t)dt $ etc etc .
P.S. Devi dare Analisi 1 a Settembre al Polimi ?
Un esercizio di applicazione a quanto detto sopra è ad esempio :
calcolare la derivata di $F(x)= int_(2x)^(3x) cos^2t*dt $ -il risultato è $F '(x)= 3 cos^2(3x)-2cos^2(2x)$.
calcolare la derivata di $F(x)= int_(2x)^(3x) cos^2t*dt $ -il risultato è $F '(x)= 3 cos^2(3x)-2cos^2(2x)$.
"Camillo":
Sì . Due osservazioni :
*se hai $int_x^0 f(t)dt $ ti conviene riscriverlo come $ - int_0^x f(t)dt $ e poi procedere in modo standard
* se invece è del tipo $int_(2x)^(3x)f(t)dt $ allora conviene considerare un punto non meglio identificato chiamiamolo $x_0 $ tale che sia $2x< x_0 < 3x $ e spezzare l'integrale in $int_(2x)^(x_0)f(t)dt +int_(x_0)^(3x)f(t)dt = -int_(x_0)^(2x)f(t)dt +int_(x_0)^(3x)f(t)dt $ etc etc .
Perfetto, grazie!
P.S. Devi dare Analisi 1 a Settembre al Polimi ?
Si, e con la Magnaghi...
Ormai con lei quell'esame lì si passa più per un colpo di fortuna che per altro.
Spulciando il sito della prof in oggetto ho visto che c'è molto materiale disponibile : soluzioni dei temi d'esame (andando anche a vedere i corsi degli anni precedenti.) ed anche alcuni appunti su argomenti vari.
Dove o, per meglio dire, in quale tipologia di esercizi hai più difficoltà ?
Dove o, per meglio dire, in quale tipologia di esercizi hai più difficoltà ?
"Camillo":
Spulciando il sito della prof in oggetto ho visto che c'è molto materiale disponibile : soluzioni dei temi d'esame (andando anche a vedere i corsi degli anni precedenti.) ed anche alcuni appunti su argomenti vari.
Dove o, per meglio dire, in quale tipologia di esercizi hai più difficoltà ?
Sostanzialmente su quegli esercizi "non standard", sui quali tralaltro la prof rifiuta di rispondere ad eventuali domande durante l'esame.
Ad esempio, se per gli studi di funzione non ci sono troppi problemi, a volte ci sono esercizi come "Dimostrare che la funzione $f(x)=3x+2+e^4x$ è invertibile e , detta $x=g(y)$ la
funzione inversa, determinare l’equazione della retta tangente alla funzione $x=g(y)$ nel punto x=3"; etc., che magari non sono neanche difficili "in sè", ma valgono molti punti e se non si ha neanche idea di dove iniziare possono compromettere l'intero esame.
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