Integrali multipli e solidi di rotazione
Buongiorno a tutti 
Premetto che sono in disperazione pre-esame e che quindi qualunque esercizio non mi viene. Pertanto vi propongo un paio di esercizi sugli integrali multipli:
1) Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare di $ 2pi $ la figura:
$ D={(x,z)^Tin RR^2:0
2)Si calcoli la massa del solido:
$ E={(x,y,z)^Tin RR^3:x^2+y^2<=z^2<=4} $
avente densità $ delta (x,y,z)=|x|+|y| $
Partiamo dal primo esercizio. Io so che la z varia tra 0 e 1 e che la x varia tra 1 e 2. Ma allora dovrebbe essere come un rettangolo che viene fatto ruotare attorno all'asse delle y. Solo che non riesco a capire se questo ragionamento è corretto o meno.
Nel secondo esercizio invece so che la z e $ (x^2+y^2)^(1/2) $ variano tra 0 e 2. Il mio problema è che non capisco come trattare quei moduli all'interno del mio integrale.
Potreste aiutarmi?
Grazie mille
Premetto che sono in disperazione pre-esame e che quindi qualunque esercizio non mi viene. Pertanto vi propongo un paio di esercizi sugli integrali multipli:
1) Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare di $ 2pi $ la figura:
$ D={(x,z)^Tin RR^2:0
2)Si calcoli la massa del solido:
$ E={(x,y,z)^Tin RR^3:x^2+y^2<=z^2<=4} $
avente densità $ delta (x,y,z)=|x|+|y| $
Partiamo dal primo esercizio. Io so che la z varia tra 0 e 1 e che la x varia tra 1 e 2. Ma allora dovrebbe essere come un rettangolo che viene fatto ruotare attorno all'asse delle y. Solo che non riesco a capire se questo ragionamento è corretto o meno.
Nel secondo esercizio invece so che la z e $ (x^2+y^2)^(1/2) $ variano tra 0 e 2. Il mio problema è che non capisco come trattare quei moduli all'interno del mio integrale.
Potreste aiutarmi?
Grazie mille
Risposte
L'esercizio 2 ho capito come risolverlo
In pratica il solido di cui si calcola il volume consiste in due coni rovesciati simmetrici rispetto al piano xy. Dato che la mia densità è data dal modulo della x e da quello della y considero, dopo aver fatto il cambio con variabili cilindriche, la restrizione del mio angolo al primo quadrante, cioè $ vartheta in [0,pi/2] $ . Quindi sto in parole povere calcolando un quarto del volume di un singolo cono. Per trovare il volume totale, e di conseguenza la massa totale, moltiplico l'integrale multiplo per 8. Il risultato finale è 64/3
In pratica il solido di cui si calcola il volume consiste in due coni rovesciati simmetrici rispetto al piano xy. Dato che la mia densità è data dal modulo della x e da quello della y considero, dopo aver fatto il cambio con variabili cilindriche, la restrizione del mio angolo al primo quadrante, cioè $ vartheta in [0,pi/2] $ . Quindi sto in parole povere calcolando un quarto del volume di un singolo cono. Per trovare il volume totale, e di conseguenza la massa totale, moltiplico l'integrale multiplo per 8. Il risultato finale è 64/3
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