Integrali multipli: dubbio variazione estremi di integrazione
Salve a tutti! Vi chiedo delucidazioni su un esercizio, con problema classico: determinare gli estremi di integrazione negli integrali multipli.
Esso consiste nel calcolare il volume di un solido delimitato dalle seguenti condizioni:
$\int int int_\Omega dxdydz$,
dove $\Omega={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2\leq1, x^2-x+y^2\leq0}$.
Sono passato in coordinate cilindriche con asse parallelo all'asse $z$, ottenendo
$\int int int_\D \rhod\rhod\thetadz$,
dove $\D={(\rho\cos\theta,\rho\cos\theta,z)\in\mathbb{R}^3 : \rho^2+z^2\leq1, \rho^2-\rho\cos\theta\leq0,\rho\ge0, \theta\in[0,2\pi)}$.
Dalla prima troviamo che $z\in[-sqrt{1-z^2},sqrt{1-z^2}]$, mentre dalla seconda disequazione troviamo che $\theta\in\[-\pi/2,\pi/2]$ e che $\rho\in[0,\cos\theta]$.
Procedendo alla stessa maniera fino a prima della determinazione di D, nasce il mio dubbio: se io avessi esplicitato $z$ dalla prima disequazione in questo modo $0\leq\rho\leqsqrt{1-z^2}$, ottenendo quindi $z\in[-1,1]$, avrei ottenuto altri intervalli di integrazione, che ora riporterò.
D'ora in poi le mie sono supposizioni, perciò vi chiedo per favore di correggere eventuali errori. Esplicitando $z\in[-1,1]$ otterrei a questo punto $\rho$ variante tra due condizioni; dovrei quindi considerare il minimo tra $\cos\theta$ e $sqrt{1-z^2}$ e poi spezzare l'integrale nella somma di due integrali, in base a chi è il minimo.
Ora, mi rendo conto che è innegabilmente più complicato o addirittura impraticabile questo secondo approccio, ma vorrei solo sapere se è corretto, perché mi capita molte volte di trovare integrali in cui si possono esprimere limitazioni in funzione di una o l'altra variabile. Vorrei sapere se la scelta è puramente di calcolo (e quindi questo secondo approccio è solo scomodo/impraticabile) oppure se c'è proprio un errore di fondo.
Grazie a tutti per il vostro tempo.
Esso consiste nel calcolare il volume di un solido delimitato dalle seguenti condizioni:
$\int int int_\Omega dxdydz$,
dove $\Omega={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2\leq1, x^2-x+y^2\leq0}$.
Sono passato in coordinate cilindriche con asse parallelo all'asse $z$, ottenendo
$\int int int_\D \rhod\rhod\thetadz$,
dove $\D={(\rho\cos\theta,\rho\cos\theta,z)\in\mathbb{R}^3 : \rho^2+z^2\leq1, \rho^2-\rho\cos\theta\leq0,\rho\ge0, \theta\in[0,2\pi)}$.
Dalla prima troviamo che $z\in[-sqrt{1-z^2},sqrt{1-z^2}]$, mentre dalla seconda disequazione troviamo che $\theta\in\[-\pi/2,\pi/2]$ e che $\rho\in[0,\cos\theta]$.
Procedendo alla stessa maniera fino a prima della determinazione di D, nasce il mio dubbio: se io avessi esplicitato $z$ dalla prima disequazione in questo modo $0\leq\rho\leqsqrt{1-z^2}$, ottenendo quindi $z\in[-1,1]$, avrei ottenuto altri intervalli di integrazione, che ora riporterò.
D'ora in poi le mie sono supposizioni, perciò vi chiedo per favore di correggere eventuali errori. Esplicitando $z\in[-1,1]$ otterrei a questo punto $\rho$ variante tra due condizioni; dovrei quindi considerare il minimo tra $\cos\theta$ e $sqrt{1-z^2}$ e poi spezzare l'integrale nella somma di due integrali, in base a chi è il minimo.
Ora, mi rendo conto che è innegabilmente più complicato o addirittura impraticabile questo secondo approccio, ma vorrei solo sapere se è corretto, perché mi capita molte volte di trovare integrali in cui si possono esprimere limitazioni in funzione di una o l'altra variabile. Vorrei sapere se la scelta è puramente di calcolo (e quindi questo secondo approccio è solo scomodo/impraticabile) oppure se c'è proprio un errore di fondo.
Grazie a tutti per il vostro tempo.
Risposte
Purtroppo e' solo il secondo approccio che funziona.
Devi spezzare l'integrale e devi valutare chi e' il minore tra il raggio della sfera e la "corda" del cilindro.
Scrivo "corda" per capirci: il segmento che va dall'origine all'altro punto del cilindro.
E' complicato, ma non impraticabile.
La valutazione del minore e' comunque automatica, gli estremi dell'integrale sono valutati in base all'angolo.
Devi spezzare l'integrale e devi valutare chi e' il minore tra il raggio della sfera e la "corda" del cilindro.
Scrivo "corda" per capirci: il segmento che va dall'origine all'altro punto del cilindro.
E' complicato, ma non impraticabile.
La valutazione del minore e' comunque automatica, gli estremi dell'integrale sono valutati in base all'angolo.
Ciao Quinzio, grazie per la risposta.
Ho scritto questo post in seguito alla lettura di una risoluzione di un esame di gennaio, che riporto: calcolare
$\int int int_\Omega dxdydz$,
dove $\Omega={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2\leq1, x^2-x+y^2\leq0}$.
La risoluzione afferma che, passando in coordinate cilindriche come ho scritto nel post precedente e sfruttando la simmetria di $z$, si ha infine
$\int int int_\D \rhod\rhod\thetadz=2\int_(-\pi/2)^\(pi/2)\left( \int_0^\cos\theta\left( \int_0^\sqrt{1-\rho^2}\rhodz\right)d\rho\right)d\theta=2/3\pi-8/9$
Che è proprio il primo metodo che ho scritto nel primo post.
C'è dunque qualcosa di sbagliato in questa risoluzione?
Ho scritto questo post in seguito alla lettura di una risoluzione di un esame di gennaio, che riporto: calcolare
$\int int int_\Omega dxdydz$,
dove $\Omega={(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : x^2+y^2+z^2\leq1, x^2-x+y^2\leq0}$.
La risoluzione afferma che, passando in coordinate cilindriche come ho scritto nel post precedente e sfruttando la simmetria di $z$, si ha infine
$\int int int_\D \rhod\rhod\thetadz=2\int_(-\pi/2)^\(pi/2)\left( \int_0^\cos\theta\left( \int_0^\sqrt{1-\rho^2}\rhodz\right)d\rho\right)d\theta=2/3\pi-8/9$
Che è proprio il primo metodo che ho scritto nel primo post.
"Quinzio":
Purtroppo e' solo il secondo approccio che funziona.
C'è dunque qualcosa di sbagliato in questa risoluzione?
Si cosi' va bene.
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