Integrali irrazionali

[LukeV98]

Come posso risolvere questo integrale senza fare troppe sostituzioni?
$sqrt(2x^2-2)/x$

Grazie

[seb1]

Ad esempio se imponi \(\sqrt{x^2-1}=(x-1)t\) essa è l'unica sostituzione necessaria nella risoluzione.

[pilloeffe]

Ciao LukeV98,

In alternativa, posto $x := sec t = 1/cos t \implies dx = tan t sec t dt $, si ha:

$int sqrt(2x^2-2)/x dx = sqrt{2}\int sqrt(x^2-1)/x dx = sqrt{2} int tan^2 t dt $

L'ultimo integrale con la tangente al quadrato è già stato risolto ad esempio qui.
Alla fine, ricordando la posizione effettuata, dovresti ottenere il risultato seguente:

$int sqrt(2x^2-2)/x dx = sqrt{2} [sqrt{x^2 - 1} + arctan(frac{1}{sqrt{x^2 - 1}})] + c $

[seb1]

Decisamente migliore la sostituzione di pilloeffe; ho provato a svolgere quella che ho proposto io e, per quanto risolutiva, è decisamente più tediosa. Per quanto riguarda l'integrale della tangente al quadrato non riterrei necessario scomodare le formule di ricorrenza, semplicemente notando che \(\tan^2{t}=1+\tan^2{t}-1=\frac{\mathrm{d}\tan{t}}{\mathrm{d}t}-1\).