Integrali indefiniti, trasformazioni algebriche per ottenere il risultato

[gemini.931]

salve volevo chiedervi perche alcuni integrali possono essere trasformati come questi
\(\displaystyle \lmoustache {1-x^4 \over 1+x^2} \) è uguale a \(\displaystyle \lmoustache{1-x^2}=x-{x^3 \over 3} +c \)
fonte esercitazioni di matematica Marcellini Sbordone

[billyballo2123]

In che senso "alcuni integrali come questi"? Quella trasformazione vale solo per quell'integrale, dato che
\[
\frac{1-x^4}{1+x^2}=\frac{(1-x^2)(1+x^2)}{1+x^2}=1-x^2.
\]

[gemini.931]

mi riferisco agli integrali fratti in cui il num è maggiore del denominatore
tipo

Nel caso in cui il grado del numeratore sia maggiore o uguale al grado del denominatore si effettua la divisione tra polinomi ottenendo il quoziente Q(x) e il resto R(x):

f(x) = g(x)Q(x) + R(x)

dalla quale ricaviamo



con R(x) polinomio di grado inferiore al grado n del divisore g(x). Perciò possiamo scrivere:

eccetera....ma non ho capito bene il concetto
sapresti farmi un esempio pratico?

[billyballo2123]

Se hai due polinomi $f$ e $g$ tali che il grado di $f$ è maggiore di quello di $g$ (che è diverso da "$f$ è maggiore di $g$" come hai detto tu) e devi calcolare
\[
\int\!\frac{f(x)}{g(x)}\, dx,
\]
allora si possono trovare due polinomi $Q$ e $R$, rispettivamente il quoziente e il resto della divisione di $f$ per $g$, tali che il grado di $R$ sia minore di quello di $f$ e valga
\[
f(x)=g(x)Q(x)+R(x),
\]
ovvero
\[
\frac{f(x)}{g(x)}=Q(x)+\frac{R(x)}{f(x)}.
\]
Dunque
\[
\int\!\frac{f(x)}{g(x)}\,dx=\int\!Q(x)\, dx+\int\!\frac{R(x)}{g(x)}\, dx.
\]
$\int Q(x)dx$ è facile (dato che è un polinomio), mentre $\int\frac{R(x)}{g(x)}dx$ è più facile di $\int\frac{f(x)}{g(x)}dx$ dato che $R$ ha grado inferiore rispetto a $f$.

Se è rimasto qualcosa che non ti è chiaro, probabilmente è perché non ti è chiara la divisione tra polinomi...

[gemini.931]

ho capito grazie mille, quello che non mi era chiaro è cosa si intendeva per R(x) e Q(x) da altre fonti online, avevo completamente dimenticato la divisione(non la applico dal 2° superiore)
grazie mille ancora