Integrali indefiniti

[nick895]

Salve a tutti, vorrei sapere se potrestedarmi un indicazione su come risolvere questi due integrali indefiniti.

$ int_()^() x^2arctansqrt((3-x)/(3+x)) dx $

$ int_()^() ((cos^2x - sin^2x)sinx)/(1+cos^2x)^2 dx $

Per il primo ho ovviamente usato il metodo per parti (devo per forza liberarmi dell'arcotangente) , ritrovandomi poi con l'integrale
$ -int_()^() ((x^3)/3)sqrt((3+x)/(3-x)) dx $
ho provato a fare tutte le sostituzioni che mi venivano in mente, ma nel migliore dei casi mi ritrovo con una frazione che ha al numeratore $ (1- t^2)^3 $ e al denominatore $ (1 + t^2)^5 $!

Per il secondo invece non so dove mettere mano ovvero, ho usato tutte le relazioni che mi venivano in mente, ho provato a ricavarmi la derivata dell'arcotangente facendo apparire $ (2 +tg^2x)(cos^2x) $ al denominatore e semplificando il numeratore, ma non so poi come liberarmi dell'altro fattore del prodotto che ho ottenuto. Non mi sembra si possano fare sostituzioni o decomporre in somma.

Non chiedo di risolverli ma almeno di farmi capire come cominciare

Grazie.

[21zuclo]

"Nick895":
$ int_()^() ((cos^2x - sin^2x)sinx)/(1+cos^2x)^2 dx $

Grazie.

ti do indizi per il secondo

nella parentesi a numeratore..puoi vederlo così, vedi $\sin^2x=1-\cos^2x$
$ \cos^2x-\sin^2x\to \cos^2x-1+\cos^2x\to 2\cos^2x-1 $ quindi ora hai

$ \int ((2\cos^2x-1)\sin x)/(1+\cos^2x)dx $

ora ti suggerisco questa sostituzione
$ \cosx =t \to -\sin x dx=dt\to dx=(dt)/(-\sin x) $

quindi si ha
$ -\int (2t^2-1)/(1+t^2)dt=..... $

concludi tu

[nick895]

Ti ringrazio.
Sono riuscito a risolvere l'altro ponendo $ t=sqrt(3+x) $, con vari passaggi ho ottenuto un semplicissimo integrale di un polinomio.