Integrali in $RR^2$

[Benihime1]

sono agli inizi in questo tipi di esercizi e sono piuttosto imbranata
voglio vedere se sto facendo errori di procedimento
devo calcolare
$\int_{D} e^(-x/sqrt(y))/y $ con $D={(x,y) in RR^2 : 0 allora ho riscritto l'integrale in questo modo
$\int_{x=0}^{x=sqrt(2)} \int_{y=x^2}^{y=2} e^(-x/sqrt(y))/y dy dx$
comincio calcolando la primitiva
$ \int e^(-x/sqrt(y))/y dy$
uso la sostituzione $1/sqrt(y)=t$
$ \int -e^(-xt)t dt=(e^(-xt)/x)t-\int e^(-xt)/x dt=te^(-xt)/x+e^(-xt)/x^2=e^(-x/sqrt(y))/(xsqrt(y))+e^(-x/sqrt(y))/x^2$
quindi
$\int_{x=0}^{x=sqrt(2)} \int_{y=x^2}^{y=2} e^(-x/sqrt(y))/y dy dx=\int_{x=0}^{x=sqrt(2)} [e^(-x/sqrt(y))/(xsqrt(y))+e^(-x/sqrt(y))/x^2]_{y=x^2}^{y=2} dx=$
$\int_{x=0}^{x=sqrt(2)} e^(-x/sqrt(2))/(xsqrt(2))+e^(-x/sqrt(2))/x^2 -2/(ex^2)dx=$
$\int_{x=0}^{x=sqrt(2)} e^(-x/sqrt(2))/(xsqrt(2))-2/(ex^2)dx+\int_{x=0}^{x=sqrt(2)}e^(-x/sqrt(2))/x^2 dx =$
$\int_{x=0}^{x=sqrt(2)} e^(-x/sqrt(2))/(xsqrt(2))-2/(ex^2)dx-[e^(-x/sqrt(2))(1/x)]_{x=0}^{x=sqrt(2)}- \int_{x=0}^{x=sqrt(2)} e^(-x/sqrt(2))/(xsqrt(2))dx =$
$\int_{x=0}^{x=sqrt(2)} -2/(ex^2)dx-[e^(-x/sqrt(2))(1/x)]_{x=0}^{x=sqrt(2)}=$
$[2/(ex)-e^(-x/sqrt(2))(1/x)]_{x=0}^{x=sqrt(2)}=\infty$
dovrebbe venire $2sqrt(2)(1-1/e)$
HELP!

[gugo82]

Inoltre, dato che si tratta di integrale improprio (perché la funzione integranda non è definita nei punti dell'asse delle ascisse, quindi non è definita nell'origine che pure fa parte del dominio \(D\)), consiglierei di usare il trucco di approssimare il dominio \(D\) con domini \(D_r\) del tipo in fugura:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x^2",0.25,1.414); line([1.414,2],[0,2]); line([0,2],[0,0.0625]); line([0,0.0625],[0.25,0.0625]);
text([0,0.0625],"r",left);
strokewidth=0.5; plot("x^2",0,0.25); line([0,0.0625],[0,0]);[/asvg]
e di madare \(r\to 0^+\) alla fine dei conti.

[Benihime1]

"TeM":
[quote="Benihime"]comincio calcolando la primitiva
$ \int e^(-x/sqrt(y))/y dy$
uso la sostituzione $1/sqrt(y)=t$
$ \int -e^(-xt)t dt$

Qui, invece, ci scappa l'errore.
Infatti, ponendo \[ t = \frac{1}{\sqrt{y}}\,, \; \; \; \; y = \frac{1}{t^2}\,, \; \; \; \; dy = - \frac{2}{t^3}dt \] segue che \[ \int \frac{e^{-\frac{x}{\sqrt{y}}}}{y}dy = -2\int \frac{e^{-x\,t}}{t}dt \; . \] [/quote]
uff,odio postare qui e poi scoprire che di mezzo ci sono errori di distrazione
rigurdo al suggerimento invece,forse non ho familiarità con la terminologia che hai usato..per x-semplice ed ysemplice che intendi?intendi che devo invertire l'ordine di integrazione rispetto a x e a y? non mi sembra che risolva il problema del calcolo della primitiva

"gugo82":Inoltre, dato che si tratta di integrale improprio (perché la funzione integranda non è definita nei punti dell'asse delle ascisse, quindi non è definita nell'origine che pure fa parte del dominio \(D\)), consiglierei di usare il trucco di approssimare il dominio \(D\) con domini \(D_r\) del tipo in fugura:
[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
plot("x^2",0.25,1.414); line([1.414,2],[0,2]); line([0,2],[0,0.0625]); line([0,0.0625],[0.25,0.0625]);[/asvg]
e di madare \(r\to 0^+\) alla fine dei conti.

scusa Gugo82 ma non riesco a capire che cosa dovrebbe indicare $r$

[ciampax]

$r$ rappresenta la distanza tra la "base minore" del trapezioide $D_r$ e l'asse delle $x$. Ovviamente dovrai determinare la forma di tali domini.

[gugo82]

Messo \(r\) nel disegno.

[Benihime1]

"TeM":[quote="Benihime"]per x-semplice ed ysemplice che intendi? intendi che devo invertire l'ordine di integrazione rispetto a x e a y? non mi sembra che risolva il problema del calcolo della primitiva

Assolutamente no, così facendo il dominio rimarrebbe \(y-semplice\) ed integrando in tal modo violeresti
un noto teorema che fornisce la formuletta per passare da un integrale doppio ad un integrale iterato.
Un insieme \(D\subset \mathbb{R}^2\) si dice \(y-semplice\) se è del tipo \[ D = \left\{ (x,\,y)\in\mathbb{R}^2 : x\in[a,\,b], \; g_1(x) \le y \le g_2(x) \right\} \] con \(g_1,\,g_2 : [a,\,b]\to \mathbb{R}\) funzioni continue.
Analogamente \(D\) si dirà \(x-semplice\) se è del tipo \[ D = \left\{ (x,\,y)\in\mathbb{R}^2 : y\in[c,\,d], \; h_1(y) \le x \le h_2(y) \right\} \] con \(h_1,\,h_2 : [c,\,d]\to \mathbb{R}\) funzioni continue.
Inoltre, \(D\) si dirà semplice se è \(x-semplice\) o \(y-semplice\);
si dirà regolare se è unione di un numero finito di insiemi semplici.[/quote]
ah ok grazie!
quindi intendi scrivere il dominio nella forma
$D={(x,y) in RR^2 : x<=sqrt(y),0<=x<=sqrt(2)}$?

"ciampax":$r$ rappresenta la distanza tra la "base minore" del trapezioide $D_r$ e l'asse delle $x$. Ovviamente dovrai determinare la forma di tali domini.

Allora,$D_r$ dovrebbe essere $D_r={(x,y) in RR^2 : r<=y<=2,x^2<=y,0<=x}$ no?

[Benihime1]

"TeM":
\[ \begin{align} D : & =\left\{ (x,\,y)\in\mathbb{R}^2 : 0 < x \le \sqrt{2}, \; x^2 \le y \le 2 \right\} \end{align} \\ \]

fin qui ci sono,ma avendo già scritto nel procedimento che vi ho postato l'integrale nella forma
$ \int_{x=0}^{x=sqrt(2)} \int_{y=x^2}^{y=2} e^(-x/sqrt(y))/y dy dx $
non vedo cosa cambi scrivere il dominio a quel modo
mentre scrivendolo così
$ D={(x,y) in RR^2 : x<=sqrt(y),0<=x<=sqrt(2)} $
pensavo poi di poter scrivere l'integrale nella forma
$ \int_{y=0}^{y=2} \int_{x=0}^{x=sqrt(y)} e^(-x/sqrt(y))/y dx dy $
o c'è qualcosa che non va nel fare ciò?

[Benihime1]

tra l'altro scrivendo così verrebbe
$ \int_{y=0}^{y=2} 1/y \int_{x=0}^{x=sqrt(y)} e^(-x/sqrt(y)) dx dy $
$ \int_{y=0}^{y=2} 1/y [-sqrt(y)e^(-x/sqrt(y))]_{x=0}^{x=sqrt(y)} dy$
$ \int_{y=0}^{y=2} 1/y (sqrt(y)(1-1/e)) dy$
$(1-1/e) \int_{y=0}^{y=2} 1/sqrt(y) dy$
$(1-1/e)*2[sqrt(y)]_{y=0}^{y=2}$
$2sqrt(2)(1-1/e)$
ho capito bene come si fa?

[Benihime1]

ok perfetto,mi è chiaro..grazie mille