Integrali impropri..chiarimento
Ciao a tutti, mi trovo a svolgere questi integrali impropri. Ho dei dubbi sullo svolgimento, perchè mi sto confondento tra definizioni e teoremi. Aiutami per favore. Grazie in anticipo.
L'esercizio mi chiede:
Stabilire se i seguenti integrali impropri sono convergenti:
1.) $\int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^4+3)$
2.) $\int_{1}^{+\infty} (dx)/(\sqrt{x^3+1})$
3.) $\int_{0}^{\pi} (dx)/(\sqrt{1+\cos(x)})$
ecco una mia prima domanda è, quando mi chiede la convergenza non devo calcolare l'integrale vero? perchè io per gli integrali 1 e 2, ho usato il criterio del confronto, cioè ho fatto
$\int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^4+3)\leq \int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^4)$
e siccome $\int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^4)$, integrale improprio di seconda specie.. converge per $\alpha>1$.. in questo caso converge!..quindi per confronto converge.. È esatto?
stessa cosa per l'integrale 2.. ragionato allo stesso ed identico modo, perchè l'integrale 2 $\leq \int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^{3/2})$
e siccome $3/2$ è maggiore di 1. L'integrale converge!
È esatto fare così o devo calcolare l'integrale?
per quando riguarda l'integrale 3, stavo pensando, di fare $\lim_{x\to \pi} \int_{0}^{x}(dx)/(\sqrt{1+\cos(x)})$
e qui devo calcolare per forza l'integrale e fare il limite.. è corretto come ragionamento?
L'esercizio mi chiede:
Stabilire se i seguenti integrali impropri sono convergenti:
1.) $\int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^4+3)$
2.) $\int_{1}^{+\infty} (dx)/(\sqrt{x^3+1})$
3.) $\int_{0}^{\pi} (dx)/(\sqrt{1+\cos(x)})$
ecco una mia prima domanda è, quando mi chiede la convergenza non devo calcolare l'integrale vero? perchè io per gli integrali 1 e 2, ho usato il criterio del confronto, cioè ho fatto
$\int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^4+3)\leq \int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^4)$
e siccome $\int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^4)$, integrale improprio di seconda specie.. converge per $\alpha>1$.. in questo caso converge!..quindi per confronto converge.. È esatto?
stessa cosa per l'integrale 2.. ragionato allo stesso ed identico modo, perchè l'integrale 2 $\leq \int_{1}^{+\infty} (dx)/(x^{3/2})$
e siccome $3/2$ è maggiore di 1. L'integrale converge!
È esatto fare così o devo calcolare l'integrale?
per quando riguarda l'integrale 3, stavo pensando, di fare $\lim_{x\to \pi} \int_{0}^{x}(dx)/(\sqrt{1+\cos(x)})$
e qui devo calcolare per forza l'integrale e fare il limite.. è corretto come ragionamento?
Risposte
ma il dubbio sul terzo non l'ho capito ...
"Noisemaker":
:smt023 ma il dubbio sul terzo non l'ho capito ...
sono proprio agli inizi per gli integrali impropri. Per cui su quello che faccio ho dubbi XD. Ho chiesto se dovevo calcolare l'integrale del tipo $\int_{1}^{+\infty}f(x)dx$, perchè su un eserciziario lo calcolava
quindi boh, poi ho visto sul testo di teoria che c'erano dei criteri e ho applicato il criterio del confrontoper quanto riguarda l'integrale 3, volevo sapere era corretto il mio ragionamento e basta, non mi ero spiegato bene forse..
se l'esercizio ti chiede di calcolare il falore del'integrale allora devi trovare l'insieme delle primitive fare il limite ect. se ti chiede se converge o meno nn serve calcolare esplicitamente il valore dell'integrale; nel terzo esempio l'integrale risulta improrio in $\pi$...potresti considerare lo sviluppo del coseno in $\pi$ e vedere cosa succede...
alla fine l'integrale 3, l'ho risolto così..
$\int_{0}^{\pi} (dx)/(\sqrt{1+\cos(x)})=$ cambiamento di variabile $y=x-\pi$, con cambio di estremi di integrazione
e quindi diventa $\int_{-\pi}^{0}(dx)/(\sqrt{1+\cos(y+\pi)})$
siccome $\cos(y+\pi)=-\cos(y)$ e razionalizzando ho trovato
$\int_{-\pi}^{0} (\sqrt{1+\cos(y)})/(\sqrt{1-\cos^2 y})dx=\int_{-\pi}^{0}(\sqrt{1+\cos(y)})/(|\sin(y)|)=\int_{-\pi}^{0}(\sqrt{1+\cos(y)})/(-(\sin(y) ))=-\int_{-\pi}^{0} (\sqrt{2})/(y)$ e questo NON corverge!
ho scritto $|\sin(y)|$ perchè da qui $\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{\sin^2 y}=|\sin (y)|$ siccome siamo nella parte negativa ho messo il meno davanti..
È corretto così? Se si può fare in una maniera più veloce..scrivetelo
e se qualche errore ditelo!
@Noisemaker oltre a Taylor, mi era venuta anche questa idea che ho scritto.. è buona?..
$\int_{0}^{\pi} (dx)/(\sqrt{1+\cos(x)})=$ cambiamento di variabile $y=x-\pi$, con cambio di estremi di integrazione
e quindi diventa $\int_{-\pi}^{0}(dx)/(\sqrt{1+\cos(y+\pi)})$
siccome $\cos(y+\pi)=-\cos(y)$ e razionalizzando ho trovato
$\int_{-\pi}^{0} (\sqrt{1+\cos(y)})/(\sqrt{1-\cos^2 y})dx=\int_{-\pi}^{0}(\sqrt{1+\cos(y)})/(|\sin(y)|)=\int_{-\pi}^{0}(\sqrt{1+\cos(y)})/(-(\sin(y) ))=-\int_{-\pi}^{0} (\sqrt{2})/(y)$ e questo NON corverge!
ho scritto $|\sin(y)|$ perchè da qui $\sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{\sin^2 y}=|\sin (y)|$ siccome siamo nella parte negativa ho messo il meno davanti..
È corretto così? Se si può fare in una maniera più veloce..scrivetelo
e se qualche errore ditelo!@Noisemaker oltre a Taylor, mi era venuta anche questa idea che ho scritto.. è buona?..
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