Integrali impropri....aiuto...

[dave031]

buongiorno a tutti...avrei qualche problemino con gli integrali impropri per cui vorrei qualche delucidazione.

Ho un integrale di questo tipo (dire se converge o no)

$int_(-1)^1 1/(x^2sinx)^(1/5)$

dato che 0 è un punto di discontinuità, allora lo spezzo in $int_(-1)^0 1/(x^2sinx)^(1/5) + int_(0)^1 1/(x^2sinx)^(1/5)$
e qui giungono i problemi: considero il primo integrale, cerco una funzione $1/x^a$ con cui confrontarlo, però non so come procedere, perchè in [-1,0] il (sin x) è negativo, per cui $(x^2sinx)^(1/5)$ è negativa, e da quanto so, in R la radice è definita solo per x>=0...c'è qualcuno che può darmi qualche consiglio su come risolvere sti integrali impropri?
grazie a tutti!

[-Veon-1]

considero il primo integrale, cerco una funzione $1/x^a$ con cui confrontarlo, però non so come procedere, perchè in [-1,0] il (sin x) è negativo, per cui $(x^2sinx)^(1/5)$ è negativa, e da quanto so, in R la radice è definita solo per x>=0...c'è qualcuno che può darmi qualche consiglio su come risolvere sti integrali impropri?

solo per x>=0 solo quando hai radici pari, in questo caso 5 è dispari, per cui non ci sono problemi a fare la radice di un numero negativo
Esempio:
$(-2)^3=-8$ per cui $(-8)^(1/3)=-2$

[Sk_Anonymous]

Se valutiamo la funzione...

$f(x)= 1/(x^2*sin x)$ (1)

... osserviamo che essa è dispari [ossia $f(x)=-f(-x)$...]. Pertanto anche la funzione

$g(x)=root(5) (f(x))$ (2)

... è dispari. Ora è noto che se $g(x)$ è una funzione dispari e $a$ è un qualunque numero reale è...

$int_(-a)^a g(x)*dx=0$ (3)

cordiali saluti

lupo grigio



An old wolf may lose his teeth, but never his nature

[dave031]

posso fare un discorso di questo tipo (senza considerare il calcolo vero e proprio dell'integrale, ma solo la convergenza o meno)? dato che $x->0$ allora $sin x = x+o(x)$ (Taylor) quinid l'integrale lo posso scrivere come

$int_(-1)^(0)1/(x^2x)^(1/5)$ cioè $int_(-1)^(0)1/(x^3)^(1/5)$ = $int_(-1)^(0)1/x^(3/5)$ lo posso confrontare con $1/x^(3/6)$ che converge, dunque converge anche il precedente....sbagliato, vero?

[Camillo]

Basta tener presente che $int_0^1 1/x^a*dx $ converge per $a < 1 $ .

[dave031]

"Camillo":Basta tener presente che $int_0^1 1/x^a*dx $ converge per $a < 1 $ .

infatti...ma il mio problema era capire se questo confronto è applicabile anche in $int_-1^0$...se fosse così allora il discorso che ho fatto non sembrerebbe sbagliato, ma non ne sono ancora sicuro...

[TomSawyer1]

Si', vale sempre per gli integrali impropri, con estremi che non tendono all'infinito.

[dave031]

"Crook":Si', vale sempre per gli integrali impropri, con estremi che non tendono all'infinito.

ok, allora non avevo sbagliato (il fatto di calcolarlo nel senso vero e proprio, come ha fatto il gentilissimo "lupo grigio" è, come si direbbe dalle mie parti, "another pair of sleeves" )

[dave031]

scusate ma sapreste darmi un indirizzo dove posso trovare il teorema che ha enunciato "lupo grigio" per il calcolo dell'integrale improprio che ho proposto ? (quello in cui tratta il discorso della funzione dispari?
grazie!

[TomSawyer1]

Guarda, e' una cosa abbastanza ovvia. Hai che $int_(-a)^af(x)dx=int_(-a)^0f(x)dx+int_0^af(x)dx=-int_0^af(x)dx+int_0^af(x)dx=0$. Se $f(x)$ e' dispari, naturalmente.

[dave031]

sì sì, questo l'avevo capito...quello che mi chiedevo è se c'erano altri criteri (tipo quello) che non sapevo e che potevano tornarmi utili, oltre a quelli standard (criterio del confronto, del confronto asintotico, della convergenza assoluta)...