Integrali Impropri + Teoria
Ciao a tutti 
Volevo chiedere un vostro parere riguardo ad un integrale improprio per verificare la sua convergenza.
$int_0^2 sinx / (x(4-x^2)) dx$
Apparentemente l'integrale sembra indefinito per entrambi gli estremi dell'intervallo.
Durante lo svolgimento di altri integrali impropri (visti dal quaderno di alcuni amici), per vedere se l'integrale è definito in un estremo calcolano
$lim_(x->0^+) f(x) $ e non il $lim_(h->0) int_(0+h)^2 f(x) dx $
Supponendo che io non riesca a ricavare la primitiva della mia funzione, volevo sapere se era possibile utilizzare il $lim_(x->0^+) f(x) dx $ per vedere se in quell'estremo la funzione è definita o meno.
In questo caso verrebbe:
$lim_(x->0^+) sinx / (x(4-x^2)) = lim_(x->0^+) sinx / x 1/(4-x^2) = lim_(x->0^+) 1/(4-x^2) = 1/4$
Il limite è finito e $!=0$, posso dire che l'integrale è definito nell'estremo inferiore e quindi considerarlo convergente (almeno in quell'estremo)?
Grazie in anticipo.
Volevo chiedere un vostro parere riguardo ad un integrale improprio per verificare la sua convergenza.
$int_0^2 sinx / (x(4-x^2)) dx$
Apparentemente l'integrale sembra indefinito per entrambi gli estremi dell'intervallo.
Durante lo svolgimento di altri integrali impropri (visti dal quaderno di alcuni amici), per vedere se l'integrale è definito in un estremo calcolano
$lim_(x->0^+) f(x) $ e non il $lim_(h->0) int_(0+h)^2 f(x) dx $
Supponendo che io non riesca a ricavare la primitiva della mia funzione, volevo sapere se era possibile utilizzare il $lim_(x->0^+) f(x) dx $ per vedere se in quell'estremo la funzione è definita o meno.
In questo caso verrebbe:
$lim_(x->0^+) sinx / (x(4-x^2)) = lim_(x->0^+) sinx / x 1/(4-x^2) = lim_(x->0^+) 1/(4-x^2) = 1/4$
Il limite è finito e $!=0$, posso dire che l'integrale è definito nell'estremo inferiore e quindi considerarlo convergente (almeno in quell'estremo)?
Grazie in anticipo.
Risposte
si
"ubermensch":
si
Puoi spiegarmi anche il perchè, ti dispiace?
Grazie
Un fatto di nomenclatura: l'integrale non e' indefinito o definito, caso mai e' improprio perche' il dominio della funzione e' aperto.
Quanto osservavi ti dice che l'integrale improprio tra $0$ e $c$ per $c \in (0,2)$ converge, in quanto la funzione integranda e' limitata in un intorno dello $0$. Manca lo studio dell'integrale tra $c$ e $2$.
Quanto osservavi ti dice che l'integrale improprio tra $0$ e $c$ per $c \in (0,2)$ converge, in quanto la funzione integranda e' limitata in un intorno dello $0$. Manca lo studio dell'integrale tra $c$ e $2$.
"Luca.Lussardi":
Un fatto di nomenclatura: l'integrale non e' indefinito o definito, caso mai e' improprio perche' il dominio della funzione e' aperto.
Quanto osservavi ti dice che l'integrale improprio tra $0$ e $c$ per $c \in (0,2)$ converge, in quanto la funzione integranda e' limitata in un intorno dello $0$. Manca lo studio dell'integrale tra $c$ e $2$.
Si, volevo dire che l'integrale non è definito in queli estremi perchè la funzione stessa in quegli estremi non è definita (perchè il denominatore viene 0).
E se la funzione da integrare fosse limitata in un intorno sia dell'estremo inferiore che dell'estremo superiore?
Ovvero $lim_(x->Estr.Inf^+) f(x) = L_1$ e $lim_(x->Estr.Sup^-) f(x) = L_2$ con $L_1$ e $L_2$ finiti potrei direttamente dire che l'integrale è convergente?
Per quanto riguarda lo studio dell'estremo superiore ho fatto così:
$lim_(x->2^-) (sinx)/(x(4-x^4)) = $ Applico la sostituzione $t=x-2$ quindi $x=t+2$ e ho
$lim_(t->0) ((sin(t+2))/((t+2)))(1/(4-(t^2+2t+4))) = lim_(t->0) -1/(t(t+1)) = -oo$
Da questo so che per l'estremo superiore ovvero $2$ la funzione non è definita.
Ho scomposto l'integrale in :
$lim_0^2 sinx/(x(2+x)(2-x)) dx$ e ho pensato di utilizzare il confronto asintotico per con $1/(2-x)$
Per quanto riguarda il confronto asintotico devo far tendere la mia x a $+oo$ oppure all'estremo superiore?
$x$ tende a $2$, non a $+\infty$.
"Luca.Lussardi":
$x$ tende a $2$, non a $+\infty$.
Ok, perfetto! Grazie 1000!!!
Posto il confronto asintotico, non si sa mai, magari a qualcuno può far comodo.
$lim_(x->2) {(sinx)/(x(2+x)(2-x))}/{1/{(2-x)}} = lim_(x->2) (sinx)/(x(2+x)) =$
Applico la sostituzione (come prima) $t=x-2$ quindi $x=t+2$ e ho
$lim_(t->0) (sin(t+2))/(t+2)1/(2+2+t) = lim_(t->0) 1/(4+t) = 1/4$
Posso dire che il limite si comporta asintoticamente come $1/(2-x)^1$
Dato che $1/(2-x)$ (alpha = 1) diverge, anche il mio integrale diverge.
Va bene, ma non serve confrontare tutta la funzione; basta osservare che nella funzione data solo la frazione $1/(2-x)$ non e' limitata per $x \to 2$, per cui ai fini della convergenza dell'integrale basta studiare il comportamento della sola funzione $1/(2-x)$.
"Luca.Lussardi":
Va bene, ma non serve confrontare tutta la funzione; basta osservare che nella funzione data solo la frazione $1/(2-x)$ non e' limitata per $x \to 2$, per cui ai fini della convergenza dell'integrale basta studiare il comportamento della sola funzione $1/(2-x)$.
Ah, ecco perchè la professoressa li fa al volo
Mi basta *vedere* il termine per la quale la nostra funzione non è limitata per quell'estremo e studiarne la convergenza a parte.
Buono!
Grazie ancora
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