Integrali impropri estesi a tutta la retta reale
Buongiorno, avrei un esercizio su cui chiedere spiegazioni e qualche domanda in generale sugli integrali impropri.
Se non sbaglio, un integrale improprio $\int_{a}^{infty} f(x) dx$ ha senso di essere calcolate solo se la $ f(x) $ tende a 0, e questo mi par chiaro, altrimenti l'integrale divergerebbe necessariamente... ma allora non ha senso calcolare $\int_{-infty}^{infty} x dx$ ? E' sbagliato, come uno dedurrebbe "ad occhio" dal grafico, dire che $\int_{-infty}^{infty} x dx\=\0$ ?
In generale, si può dire che se una funzione è dispari, $\int_{-infty}^{infty} f(x) dx\=\0$ ?
E se mi si chiedesse di discutere l'esistenza dell'integrale improprio di $f(x)=xcosx^2$ esteso a tutta la retta reale? (senza le delucidazioni precedenti non saprei come agire
)
Ciao e grazie!
Se non sbaglio, un integrale improprio $\int_{a}^{infty} f(x) dx$ ha senso di essere calcolate solo se la $ f(x) $ tende a 0, e questo mi par chiaro, altrimenti l'integrale divergerebbe necessariamente... ma allora non ha senso calcolare $\int_{-infty}^{infty} x dx$ ? E' sbagliato, come uno dedurrebbe "ad occhio" dal grafico, dire che $\int_{-infty}^{infty} x dx\=\0$ ?
In generale, si può dire che se una funzione è dispari, $\int_{-infty}^{infty} f(x) dx\=\0$ ?
E se mi si chiedesse di discutere l'esistenza dell'integrale improprio di $f(x)=xcosx^2$ esteso a tutta la retta reale? (senza le delucidazioni precedenti non saprei come agire
)Ciao e grazie!
Risposte
"Giso":
Buongiorno, avrei un esercizio su cui chiedere spiegazioni e qualche domanda in generale sugli integrali impropri.
Se non sbaglio, un integrale improprio $\int_{a}^{infty} f(x) dx$ ha senso di essere calcolate solo se la $ f(x) $ tende a 0, e questo mi par chiaro, altrimenti l'integrale divergerebbe necessariamente...
Che l'integranda tenda a $0$ (suppongo tu intenda per $x->+oo$) non basta: bisogna che lo faccia con ordine superiore a $1$.
"Giso":
ma allora non ha senso calcolare $\int_{-infty}^{infty} x dx$ ? E' sbagliato, come uno dedurrebbe "ad occhio" dal grafico, dire che $\int_{-infty}^{infty} x dx\=\0$ ?
I limiti agli estremi dell'integranda indicano che l'integrale non converge - "andare a occhio" non aiuta
"Giso":
In generale, si può dire che se una funzione è dispari, $\int_{-infty}^{infty} f(x) dx\=\0$ ?
$f(x)$ potrebbe non convergere all'infinito, quindi no.
"Giso":
E se mi si chiedesse di discutere l'esistenza dell'integrale improprio di $f(x)=xcosx^2$ esteso a tutta la retta reale? (senza le delucidazioni precedenti non saprei come agire
Ciao e grazie!
Prova a risolverlo e a postare i tuoi conti basandoti su questo link.
Intanto grazie mille, molte cose son più chiare ora!
Ma vediamo se riesco a fare una gaffe Dato che la funzione $f(x)=xcosx^2$ oscilla per $x->pm\infty$ allora l'integrale non esiste?
EDIT: Ma nel caso l'integrale $\int_{-infty}^{infty} f(x) dx$ esistesse, allora è giusto dire che se $f(x)$ è dispari allora $\int_{-infty}^{infty} f(x) dx\=\0$ ?
EDIT^2: Se avessi $f(x) = xe^(-x^2)$ e dovessi nuovamente calcolare l'integrale esteso a tutta la retta reale, allora la funzione per $x->pm\infty$ tende a 0 con ordine maggiore di 1, a causa della presenza dell'esponenziale, quindi l'integrale esiste. Giusto?
Ma vediamo se riesco a fare una gaffe
Dato che la funzione $f(x)=xcosx^2$ oscilla per $x->pm\infty$ allora l'integrale non esiste?EDIT: Ma nel caso l'integrale $\int_{-infty}^{infty} f(x) dx$ esistesse, allora è giusto dire che se $f(x)$ è dispari allora $\int_{-infty}^{infty} f(x) dx\=\0$ ?
EDIT^2: Se avessi $f(x) = xe^(-x^2)$ e dovessi nuovamente calcolare l'integrale esteso a tutta la retta reale, allora la funzione per $x->pm\infty$ tende a 0 con ordine maggiore di 1, a causa della presenza dell'esponenziale, quindi l'integrale esiste. Giusto?
"Giso":
Ma vediamo se riesco a fare una gaffe
No, questa deduzione non è corretta. Ad esempio, la funzione $x \mapsto cos(x^2)$ oscilla e non ha limite per $x \to + \infty$ ma l'integrale esiste.
"Giso":
Dato che la funzione $f(x)=xcosx^2$ oscilla per $x->pm\infty$ allora l'integrale non esiste?
Non è che "non esiste", non converge.
"Giso":
EDIT^2: Se avessi $f(x) = xe^(-x^2)$ e dovessi nuovamente calcolare l'integrale esteso a tutta la retta reale, allora la funzione per $x->pm\infty$ tende a 0 con ordine maggiore di 1, a causa della presenza dell'esponenziale, quindi l'integrale esiste. Giusto?
Sì
"Paolo90":
[quote="Giso"]
Ma vediamo se riesco a fare una gaffe
No, questa deduzione non è corretta. Ad esempio, la funzione $x \mapsto cos(x^2)$ oscilla e non ha limite per $x \to + \infty$ ma l'integrale esiste.[/quote]
@Paolo90
penso che l'utente Giso, stia studiano Analisi Matematica 1 o 2, a seconda del tipo di università e/o corso di laurea che fa, tipo nella mia Analisi 1, c'erano gli integrali impropri e funzioni integrali, mentre in un'altra universtà Analisi 1, andava fino alle derivate.
Io in Analisi 1, il mio professore non ci ha mai parlato di Integrale di Fresnel.
@21zuclo
Capisco che cosa vuoi dire, sono ben consapevole che non vi è uniformità nei programmi dei corsi delle varie università. Ciò nonostante, indipendentemente dal corso che l'utente Giso sta seguendo, la sua affermazione - quella che ho quotato nel mio post precedente - è errata.
Capisco che cosa vuoi dire, sono ben consapevole che non vi è uniformità nei programmi dei corsi delle varie università. Ciò nonostante, indipendentemente dal corso che l'utente Giso sta seguendo, la sua affermazione - quella che ho quotato nel mio post precedente - è errata.
Ok grazie dell'aiuto!
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