Integrali Impropri : dubbio su domanda a risposta multipla
Riporto la domanda:
Sia $ f:[0;+\ infty)->R $ una funzione continua tale che $ f(x)>=0 $ per ogni $ x in R $ e tale che non esiste
$ lim(x->infty) f(x) $. Allora a proposito dell'integrale improprio $ int_{0}^{+\infty} \f(x) dx \ $ possiamo dire che:
A- è indeterminato
B- non possiamo concludere se converge o diverge (RISPOSTA ESATTA)
C- è convergente
D- diverge negativamente
E- diverge positivamente
Secondo me è proprio la B perché l'unica condizione necessaria per l'esistenza dell'integrale improprio è l'esistenza del limite finito dell'integrale. Secondo voi? Come giustifichereste la risposta B? Potete fare un esempio di una funzione che rispetta le condizioni della domanda?
Grazie in anticipo
Sia $ f:[0;+\ infty)->R $ una funzione continua tale che $ f(x)>=0 $ per ogni $ x in R $ e tale che non esiste
$ lim(x->infty) f(x) $. Allora a proposito dell'integrale improprio $ int_{0}^{+\infty} \f(x) dx \ $ possiamo dire che:
A- è indeterminato
B- non possiamo concludere se converge o diverge (RISPOSTA ESATTA)
C- è convergente
D- diverge negativamente
E- diverge positivamente
Secondo me è proprio la B perché l'unica condizione necessaria per l'esistenza dell'integrale improprio è l'esistenza del limite finito dell'integrale. Secondo voi? Come giustifichereste la risposta B? Potete fare un esempio di una funzione che rispetta le condizioni della domanda?
Grazie in anticipo
Risposte
E dov'è scritto che il limite dell'integrale non è finito?
Un esempio di una tale funzione \(f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}_{\geqslant0}\) potrebbe essere \(f(x)=|\sin{x}|\).
Poi non penso di essere d'accordo con nessuna delle alternative.
Un esempio di una tale funzione \(f:[0,+\infty)\to\mathbb{R}_{\geqslant0}\) potrebbe essere \(f(x)=|\sin{x}|\).
Poi non penso di essere d'accordo con nessuna delle alternative.
La risposta giusta è B.
Per renderti conto che ci sono funzioni con integrale convergente e con integrale divertente che soddisfano le ipotesi, fai la costruzione seguente.
Scegli tre successioni di numeri positivi, $(x_n)$, $(b_n)$ ed $(h_n)$ in modo che $x_n->+oo$, $x_(n+1)-x_n>=2$ e $b_n->0$, $b_n<1$, $h_n$ non infinitesima; crea una funzione che è nulla fuori dagli intervalli $[x_n-b_n,x_n+b_n]$ ed in ognuno di tali intervalli il rettangoloide di $f$ è un triangolo isoscele con altezza $h_n$.
La funzione $f$ è impropriamente integrabile in $[0,+oo[$ se è solo se converge la serie:
\[
\sum_{n=0}^\infty b_nh_n; ;
\]
stanti le ipotesi poste sulle successioni, la serie può fare ciò che vuole, i.e. sia essere convergente (prendi $b_n=1/2^n$ ed $h_n=n$) sia divergente (prendi $b_n=1/2^n$ ed $h_n=3^n$).
Per renderti conto che ci sono funzioni con integrale convergente e con integrale divertente che soddisfano le ipotesi, fai la costruzione seguente.
Scegli tre successioni di numeri positivi, $(x_n)$, $(b_n)$ ed $(h_n)$ in modo che $x_n->+oo$, $x_(n+1)-x_n>=2$ e $b_n->0$, $b_n<1$, $h_n$ non infinitesima; crea una funzione che è nulla fuori dagli intervalli $[x_n-b_n,x_n+b_n]$ ed in ognuno di tali intervalli il rettangoloide di $f$ è un triangolo isoscele con altezza $h_n$.
La funzione $f$ è impropriamente integrabile in $[0,+oo[$ se è solo se converge la serie:
\[
\sum_{n=0}^\infty b_nh_n; ;
\]
stanti le ipotesi poste sulle successioni, la serie può fare ciò che vuole, i.e. sia essere convergente (prendi $b_n=1/2^n$ ed $h_n=n$) sia divergente (prendi $b_n=1/2^n$ ed $h_n=3^n$).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo