Integrali impropri convergenza assoluta

[wsr34]

Ciao,
ho dei problemi con questi integrali:

$ int_(1)^( oo ) cos(x)/sqrt(x) $

mi si chiede di studiarne la convergenza e se converge l'assoluta convergenza.

Ora la convergenza l'ho trovata.
per studiare l'assoluta convergenza devo studiare l'integrale del modulo della funzione.

Ora sto cercando delle funzioni per maggiorare o minorare, però ho trovato che 1/sqrt(x) mi maggiora la funzione ma l'integrale diverge quindi non posso usarla come confronto.

Come debbo fare?

grazie mille!

[Rigel1]

Puoi cominciare ad osservare che, per $n\in\mathbb{N}$,
$\int_1^{\pi/2+n\pi} \frac{|\cos x|}{\sqrt{x}} dx \ge \sum_{k=0}^{n-1} \int_{\pi/2+k\pi}^{3\pi/2 + k\pi}\frac{|\cos x|}{\sqrt{x}}dx$.
Poi puoi proseguire osservando che
$\int_{\pi/2+k\pi}^{3\pi/2 + k\pi}\frac{|\cos x|}{\sqrt{x}}dx \ge \frac{1}{\sqrt{3\pi/2 + k\pi}}\int_{\pi/2+k\pi}^{3\pi/2 + k\pi}|\cos x|dx = \frac{2}{\sqrt{3\pi/2 + k\pi}}$.

[wsr34]

scusami ma perchè nell'ultimo passaggio l'integrale del modulo del coseno ti viene 2?

grazie!

[Rigel1]

Basta calcolarlo.
(Su ciascuno di quegli intervalli il coseno ha segno costante, quindi il calcolo è semplice.)