Integrali impropri - confronto asintotico

[zio_mangrovia]

dato l'integrale improprio:

$\int_{0}^{+infty} dx/(x^2+sqrt(x) $

che si scompone come:

$\int_{0}^{1} dx/(x^2+sqrt(x) $ + $\int_{1}^{+infty} dx/(x^2+sqrt(x) $

[*:pot3b155]studiando il 2° integrale $\int_{1}^{+infty} dx/(x^2+sqrt(x) $

si dice che l'integranda è circa $1/x^2$ a $+infty$ e che $\int 1/x^2 dx$ è convergente (come da "tabellina").
Procedendo quindi con il confronto asintotico tra $1/(x^2+sqrt(x)$ e $1/x^2$ abbiamo che il limite vale $1$ pertanto i due integrali hanno lo stesso comportamento e quindi convergono.
$$[/*:m:pot3b155]
[*:pot3b155]studiando il 1° integrale $\int_{0}^{1} dx/(x^2+sqrt(x) $ invece
si dice che l'integranda è circa $1/sqrt(x)$ a $0$, quindi si comporta come $\int 1/sqrt(x) dx$ ed è convergente come da "tabellina". Applicando il confronto asintotico si arriva poi alla stessa conclusione.[/*:m:pot3b155][/list:u:pot3b155]

Non capisco il criterio con il quale si afferma che in $0$ l'integrando è all'incirca $1/sqrt(x)$
mentre a + $infty$ è come se fosse $1/x^2$; il prof aggiunge anche che a $0$ contano le potenze più piccole mentre a $+infty$ quelle più grandi. Devo capire solo questa passo il resto è tutto chiaro. Grazie

[Berationalgetreal]

Beh, basta raccogliere:

\[\frac{ 1}{x^2 + \sqrt{x} }= \frac{1}{\sqrt{x} \left ( \frac{x^2}{\sqrt{x}} + 1 \right )} =\frac{1}{\sqrt{x } \left( x^{\frac{3}{2}} +1 \right )} \underset { x \to 0 } {\sim} \frac{1}{\sqrt{x}} \]

\[ \frac{1}{x^2 + \sqrt{x}} = \frac{1}{x^2 \left (1 + \frac{\sqrt{x} }{x^2} \right)} =\frac{1}{ x^2 \left ( 1 + \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} \right )} \underset { x \to + \infty } {\sim} \frac{1}{x^2} \]

[zio_mangrovia]

Quindi se non capisco male si calcolano i rispettivi limiti per $x->0$ e $x->infty$, vedo che in un caso si raccolgono potenze più alte mentre nell'altro più piccole

[Berationalgetreal]

La relazione di asintoticità si può definire così:

\[ f(x) \underset{x \to x_{\star}} {\sim }g(x) \iff \lim_{x \to x_{\star}} {\frac{f(x)}{g(x)}} = 1 \]

Nel tuo caso:

\[ \lim_{x \to 0} {\frac{\frac{1}{\sqrt{x} }}{\frac{1}{\sqrt{x} \left( x^{\frac{3}{2} } + 1\right) }}} = \lim_{x \to 0} {\left(x^{\frac{3}{2}} + 1 \right) } = 1\]

Similmente nell'altro.

[zio_mangrovia]

chiaro, ma tuttora mi sfugge in fase di analisi iniziale come posso determinare la funzione $g(x)$ per esempio nel mio caso per $x->0$ vale $1/sqrt(x)$ ma avrei potuto prendere anche un altra g(x, quindi non riesco a capire il criterio di scelta di tale funzione.