Integrali impropri
Salve a tutti, ho un problema con le definizioni di questi integrali.
Considererò il caso $J=[a,+infty[$, ma è analogo negli altri casi. Sia $f:J \to RR$.
Si dice che $f$ è integrabile impropriamente su $J$ se esiste, finito, $lim_(t\to infty) (int_a^t f(x) dx))$.
Se tale limite non è finito la funzione non è integrabile su $J$ oppure si suol dire che tale integrale improprio è non convergente.
Il problema nasce da una cosa che ho letto su una dispensa che diceva che quando $f$ è integrabile, tale integrale può valere $l in RR$ oppure $+- infty$. Nel primo caso la funzione si dice sommabile.
Che questa seconda definizione sia errata?
Devo attenermi alla prima?
Grazie a tutti
Considererò il caso $J=[a,+infty[$, ma è analogo negli altri casi. Sia $f:J \to RR$.
Si dice che $f$ è integrabile impropriamente su $J$ se esiste, finito, $lim_(t\to infty) (int_a^t f(x) dx))$.
Se tale limite non è finito la funzione non è integrabile su $J$ oppure si suol dire che tale integrale improprio è non convergente.
Il problema nasce da una cosa che ho letto su una dispensa che diceva che quando $f$ è integrabile, tale integrale può valere $l in RR$ oppure $+- infty$. Nel primo caso la funzione si dice sommabile.
Che questa seconda definizione sia errata?
Devo attenermi alla prima?
Grazie a tutti
Risposte
L'integrabilità secondo Riemann si definisce su intervalli compatti in $RR$, quindi secondo me non ha senso parlare di integrabilità su un generico intervallo $J$ che non lo sia, a prescindere da tutto.
Se una funzione è definita e limitata su un intervallo aperto da un lato tipo $[a,b)$ e il limite che hai scritto tu per $x-> b $ esiste finito, allora possiamo estendere la definizione e dire che $f$ è integrabile, seppure in senso improprio, su $[a,b)$. Se però quel limite vale $pm oo$ secondo me è errato anche solo menzionare l'integrabilità (secondo Riemann).
Se una funzione è definita e limitata su un intervallo aperto da un lato tipo $[a,b)$ e il limite che hai scritto tu per $x-> b $ esiste finito, allora possiamo estendere la definizione e dire che $f$ è integrabile, seppure in senso improprio, su $[a,b)$. Se però quel limite vale $pm oo$ secondo me è errato anche solo menzionare l'integrabilità (secondo Riemann).
"Giuly19":
L'integrabilità secondo Riemann si definisce su intervalli compatti in $RR$, quindi secondo me non ha senso parlare di integrabilità su un generico intervallo $J$ che non lo sia, a prescindere da tutto.
Non mi risulta. Anche perchè non ritengo necessario introdurre l'integrabilità secondo Lebesgue per poter dare un senso agli integrali generalizzati su un intervallo illimitato.
Non ho detto questo, però la definizione di integrale di Riemann parte da intervalli chiusi e limitati ed è fatta su funzioni limitate.
Se poi l'integrale improprio esiste, allora coincide con quello di Riemann. Per il resto sono abbastanza sicuro di quello che ho detto.
Forse mi sono espresso male quando ho scritto che non si può parlare di integrabilità ecc., perchè stavo distinguendo in modo troppo netto integrabilità e integrabilità in senso improprio.
Comunque tutto il discorso era per dire che non condivido la seconda definizione di cui parlava Mistake, almeno per quanto ne so sulla teoria dell'integrazione secondo Riemann.
Se poi l'integrale improprio esiste, allora coincide con quello di Riemann. Per il resto sono abbastanza sicuro di quello che ho detto.
Forse mi sono espresso male quando ho scritto che non si può parlare di integrabilità ecc., perchè stavo distinguendo in modo troppo netto integrabilità e integrabilità in senso improprio.
Comunque tutto il discorso era per dire che non condivido la seconda definizione di cui parlava Mistake, almeno per quanto ne so sulla teoria dell'integrazione secondo Riemann.
"mistake89":
Il problema nasce da una cosa che ho letto su una dispensa che diceva che quando $f$ è integrabile, tale integrale può valere $l in RR$ oppure $+- infty$. Nel primo caso la funzione si dice sommabile.
Non vorrei che il testo distinguesse $3$ casi:
1. Il limite esiste finito, funzione sommabile.
2. Il limite esiste infinito, funzione integrabile ma non sommabile.
3. Il limite non esiste, funzione non integrabile.
In ogni modo, esistono testi che non fanno questa distinzione.
Facciamoci due chiacchiere estive.
Giuly te dici che l'integrale di Rienmann parte da insiemi chiusi e limitati ed una funzione f limitata.
Ecco dai miei ricordi antichi: ma la funzione deve essere limitata o continua?
Giuly te dici che l'integrale di Rienmann parte da insiemi chiusi e limitati ed una funzione f limitata.
Ecco dai miei ricordi antichi: ma la funzione deve essere limitata o continua?
La continuità della funzione è una richiesta ulteriore. L'integrale di Riemann si definisce per funzioni limitate.
Tanto è vero che vale il teorema di Lebesgue-Vitali...
Tanto è vero che vale il teorema di Lebesgue-Vitali...
Scusa Seneca ma da come la dici sembra che ogni funzione limitata in un chiuso e limitato sia integrabile alla Rienmann che non è vero.
"DajeForte":
Scusa Seneca ma da come la dici sembra che ogni funzione limitata in un chiuso e limitato sia integrabile alla Rienmann che non è vero.
Non ho scritto nulla di simile. Leggi meglio...
Leggo meglio...
...ma non vedo molte interpretazioni a questa frase.
Fai meno il criptico!
"Seneca":
L'integrale di Riemann si definisce per funzioni limitate.
...ma non vedo molte interpretazioni a questa frase.
Fai meno il criptico!
DajeForte, Seneca ha ragione. Da quello che ha scritto non si evince affatto la tua conclusione.
@speculor: non lo metto in dubbio che Seneca abbia ragione, anche perchè da frequentatore del forum so che Seneca non è il primo arrivato.
Però leggendo quella frase mi sembra così, sarà che l'italiano (e forse anche la matematica) non è il mio forte.
A parte questo non mi pare giusto impasticciare il post di Mistake, quindi vedrò se è il caso di aprire un thr. (anche se tra due giorni vado in vacanza. e Daje!!!)
Però leggendo quella frase mi sembra così, sarà che l'italiano (e forse anche la matematica) non è il mio forte.
A parte questo non mi pare giusto impasticciare il post di Mistake, quindi vedrò se è il caso di aprire un thr. (anche se tra due giorni vado in vacanza. e Daje!!!)
Perdonate l'assenza e grazie a tutti per le risposte.
Mi rifarò alla prima definizione, tenendo a mente comunque la seconda. Grazie ancora!
Mi rifarò alla prima definizione, tenendo a mente comunque la seconda. Grazie ancora!
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