Integrali impropri

[frenky46]

Salve ragazzi ho difficoltà nello svolgere due integrali impropri (devo calcolare per quali valori di \alpha sono convergenti) , ora vi posto i passaggi che ho fatto :

1 ) $\int_0^1((senx^2-sen^2x)^(\alpha)*(ln(1+x)-x))/(cos^2x-cosx^2)dx$

utilizzando lo sviluppo di Taylor ottengo :

$\int_0^1((x^2-x^4/4-x^2+x^4/3)^(\alpha)*(x-x^2/2-x))/(-x^2+2x^3/3) dx$

addizionando i termini simili :

$\int_0^1(x^(4\alpha)/12^(\alpha)*(-x^2/2)*(3/(-3x^2+2x^3)) dx$

da cui portando fuori dall'integrale tutti i termini numerici e facendo le varie semplificazioni :

$-3/2*1/12^(\alpha)*int_0^1x^(4\alpha)/(-3+2x) dx$ ........ e da qui non riesco ad andare avanti.

2 ) $int_0^1(ln(1+x^2)*(e^x-1)^2)/((sen2x-2x)^(\alpha)+cos(2x^2)-1) dx$

sostituendo sempre con lo sviluppo di Taylor :

$int_0^1((x^2-x^4/3)*(1+x-1)^2)/((2x-4x^3/3-2x)^2+1-2x^4-1) dx$

Semplificando e addizionando i terimni simili e mettendo sia al nueratore che al denominatore in evidenza $x^4$ ottengo :

$int_0^1(x^4(1-x^2/3))/(x^4[((-4/3)^(\alpha)*x^(3\alpha-4))-2]) dx$ .... e da qui (ovviamente dopo aver semplificato le $x^4$) non riesco ad andare avanti

[stefano_89]

nel primo è sbagliato lo sviluppo si $sin^x$, in realtà è:

$sin^2x = (x - x^3/(3!) +...)^2$

[faximusy]

"frenky46":Salve ragazzi ho difficoltà nello svolgere due integrali impropri (devo calcolare per quali valori di \alpha sono convergenti) , ora vi posto i passaggi che ho fatto :

1 ) $\int_0^1((senx^2-sen^2x)^(\alpha)*(ln(1+x)-x))/(cos^2x-cosx^2)dx$

utilizzando lo sviluppo di Taylor ottengo :

$\int_0^1((x^2-x^4/4-x^2+x^4/3)^(\alpha)*(x-x^2/2-x))/(-x^2+2x^3/3) dx$

addizionando i termini simili :

$\int_0^1(x^(4\alpha)/12^(\alpha)*(-x^2/2)*(3/(-3x^2+2x^3)) dx$

da cui portando fuori dall'integrale tutti i termini numerici e facendo le varie semplificazioni :

$-3/2*1/12^(\alpha)*int_0^1x^(4\alpha)/(-3+2x) dx$ ........ e da qui non riesco ad andare avanti.

:

$\int_0^1((senx^2-sen^2x)^(\alpha)*(ln(1+x)-x))/(cos^2x-cosx^2)dx$

Abbiamo che:

$(senx^2-sen^2x)^(\alpha) \sim x^(4\alpha)/3

$(ln(1+x)-x)) \sim -x^2/2$

$(cos^2x-cosx^2) \sim -x^2$


Quindi:

$((senx^2-sen^2x)^(\alpha)*(ln(1+x)-x))/(cos^2x-cosx^2) \sim (x^4/3(-x^2/2))/(-x^2) = x^(4\alpha)/6$

Ora poichè $\int_0^1(x^(\alpha))dx$ converge per $\alpha> -1$ deve essere:

$4\alpha> -1 -> \alpha> -1/4$



Salvo errori dovrebbe essere giusto; dopo provo col secondo

[frenky46]

"faximusy":

Abbiamo che:

$(senx^2-sen^2x)^(\alpha) \sim x^(4\alpha)/3

perchè non $(senx^2-sen^2x)^(\alpha)\sim(x^4/12)^(\alpha)$ ?

[faximusy]

"frenky46":

2 ) $int_0^1(ln(1+x^2)*(e^x-1)^2)/((sen2x-2x)^(\alpha)+cos(2x^2)-1) dx$

sostituendo sempre con lo sviluppo di Taylor :

$int_0^1((x^2-x^4/3)*(1+x-1)^2)/((2x-4x^3/3-2x)^2+1-2x^4-1) dx$

Semplificando e addizionando i terimni simili e mettendo sia al nueratore che al denominatore in evidenza $x^4$ ottengo :

$int_0^1(x^4(1-x^2/3))/(x^4[((-4/3)^(\alpha)*x^(3\alpha-4))-2]) dx$ .... e da qui (ovviamente dopo aver semplificato le $x^4$) non riesco ad andare avanti

$ln(1+x^2) \sim x^2$

$(e^x-1)^2) \sim x^2$

$(sen2x-2x)^(\alpha)+cos(2x^2)-1) \sim -4/3x^3$


Quindi: $-3/4 x^(4-3\alpha)$

come prima: $4-3\alpha> -1 -> \alpha < 5/3$


Ps: se devi fare l'esame con Ceccherini di Analisi 2, sai quando è previsto il prossimo appello?

[faximusy]

"frenky46":[quote="faximusy"]

Abbiamo che:

$(senx^2-sen^2x)^(\alpha) \sim x^(4\alpha)/3

perchè non $(senx^2-sen^2x)^(\alpha)\sim(x^4/12)^(\alpha)$ ?[/quote]

Perchè:

$sen(x^2) \sim x^2$
$sen^2x \sim x^2-x^4/3$

quindi:

$(senx^2-sen^2x)^(\alpha)\sim (x^(4\alpha)/3)$

[frenky46]

Grazie mille. Ma quindi utilizzando il polinomio di Taylor posso decidere io a quale addendo approssimare ?

ps. per l'esame ti rispondo in Privato

[faximusy]

"frenky46":Grazie mille. Ma quindi utilizzando il polinomio di Taylor posso decidere io a quale addendo approssimare ?

ps. per l'esame ti rispondo in Privato

In generale prendi sempre il termine piu significativo, scartando quelli meno significativi che non ti servono.

Se hai $x^2+x^4$, quello che importa è come si comporta $x^2$

[frenky46]

ok Grazie mille.

[faximusy]

Una importante precisazione.

$int_0^1(ln(1+x^2)*(e^x-1)^2)/((sen2x-2x)^(\alpha)+cos(2x^2)-1) dx$

Dopo aver applicato Taylor, troviamo:

$ x^4/( -(4/3)^(\alpha) x^(3\alpha) - 2x^4)$

per poter trascurare $-2x^4$ devo supporre che:

$3\alpha < 4 -> \alpha < 4/3 $

A questo punto ho:

$ x^4/( -(4/3)^(\alpha) x^(3\alpha) ) = x^(4-3\alpha) $ trascurando i valori numerici

quindi: $\alpha < 5/3 $

Poichè $4/3$ è minore di $5/3$, posso dire che l'integrale converge per $\alpha < 4/3$



Non sono sicuro che sia giusto, ma penso che lo sia.
Se qualcuno più esperto vuole intervenire, sarebbe gradito