Integrali impropri
Ho questo integrale improprio :
$\int_{0}^{infty} 1/ (sqrtx)+ (sqrtx)^3dx$
per $x->infty$ $ 1/ (sqrtx)+ (sqrtx)^3$ $\sim$ $1/x^(3/2)$
per $x->0$ $ 1/ (sqrtx)+ (sqrtx)^3$ $\sim$ $1/x^(1/2)$
E dopo calcola l'integrale improprio che l'ho capito. Quello che non capisco:
1) a cosa servono questi passaggi, cioè non potrei calcolare direttamente l'integrale?
2) non capisco come vengono svolti cioè ho capito che $1/x^(3/2)$ e $1/x^(1/2)$ fanno parte della funzione integranda ma non capisco...
Poi ho un altro problema:
$\int_{0}^{4} 1/ (4x-x^2)^alphadx$
Mi dice se $alpha <= 0$ questa funzione è limitata nell'intervallo [0,4] e risulta R-integrabile.
Se $alpha>0$ la funzione non è limitata negli intorni di 0 e 4 e abbiamo
f(x) $\sim$ $1/x^alpha$ $x->0$
f(x) $\sim$ $1/(4-x)^alpha$ $x->4$
Non riesco a capire come fa a dire che se per alpha <0 è .... e invece se alpha>0 è....
Vi prego aiutatemi Ciao
$\int_{0}^{infty} 1/ (sqrtx)+ (sqrtx)^3dx$
per $x->infty$ $ 1/ (sqrtx)+ (sqrtx)^3$ $\sim$ $1/x^(3/2)$
per $x->0$ $ 1/ (sqrtx)+ (sqrtx)^3$ $\sim$ $1/x^(1/2)$
E dopo calcola l'integrale improprio che l'ho capito. Quello che non capisco:
1) a cosa servono questi passaggi, cioè non potrei calcolare direttamente l'integrale?
2) non capisco come vengono svolti cioè ho capito che $1/x^(3/2)$ e $1/x^(1/2)$ fanno parte della funzione integranda ma non capisco...
Poi ho un altro problema:
$\int_{0}^{4} 1/ (4x-x^2)^alphadx$
Mi dice se $alpha <= 0$ questa funzione è limitata nell'intervallo [0,4] e risulta R-integrabile.
Se $alpha>0$ la funzione non è limitata negli intorni di 0 e 4 e abbiamo
f(x) $\sim$ $1/x^alpha$ $x->0$
f(x) $\sim$ $1/(4-x)^alpha$ $x->4$
Non riesco a capire come fa a dire che se per alpha <0 è .... e invece se alpha>0 è....
Vi prego aiutatemi Ciao
Risposte
"valentinax89":
E dopo calcola l'integrale improprio che l'ho capito. Quello che non capisco:
1) a cosa servono questi passaggi, cioè non potrei calcolare direttamente l'integrale?
2) non capisco come vengono svolti cioè ho capito che $1/x^(3/2)$ e $1/x^(1/2)$ fanno parte della funzione integranda ma non capisco...
Il fatto è che l'autore della cosa che stai leggendo vuole essere sicuro a priori che l'integrale abbia senso. Allora lui fa implicitamente questo discorso: io so che $1/x^(3/2)$ e $1/x^(1/2)$ sono integrabili in $[0, infty)$ (Perché? Ha usato un criterio di confronto asintotico), e quindi anche la loro somma lo è. A questo punto ha senso calcolare l'integrale.
P.S.:Ma sei sicura di aver scritto bene la traccia?
Per il primo integrale:
in questo caso puoi effettivamente risolverlo e quindi calcolarlo direttamente, ma spesso ti capitano integrali che non sei in grado di risolvere.
per quanto riguarda gli asintotici, se vuoi vedere se un integrale converge vedi a cosa è asintotica la funzione integranda. Nel tuo caso per x che tende a infinito la funzione integranda è asintotica a $x^{\frac{1}{3}}$ che diverge (lo vedi dalle tabelle), quindi anche il tuo integrale diverge.
Per x che tende a 0 la funzione è asintotica a $x^{-\frac{1}{2}}$ che invece converge e quindi anche il tuo integrale converge.
Ovviamente saresti potuto arrivare alle stesse conclusioni se avessi risolto l'integrale (l'integrale vale $\frac{2}{5}sqrt(x)(x^2+5)$ e converge a 0 per x che tende a 0 e diverge a + infinito per x che tende a +infinto). Però ripeto: se dovessi verificare la covergenza di $\int_0^b\frac{sinx}{x}$ non potevi risolvere l'integrale perchè non è esprimibile mediante funzioni elementari.
in questo caso puoi effettivamente risolverlo e quindi calcolarlo direttamente, ma spesso ti capitano integrali che non sei in grado di risolvere.
per quanto riguarda gli asintotici, se vuoi vedere se un integrale converge vedi a cosa è asintotica la funzione integranda. Nel tuo caso per x che tende a infinito la funzione integranda è asintotica a $x^{\frac{1}{3}}$ che diverge (lo vedi dalle tabelle), quindi anche il tuo integrale diverge.
Per x che tende a 0 la funzione è asintotica a $x^{-\frac{1}{2}}$ che invece converge e quindi anche il tuo integrale converge.
Ovviamente saresti potuto arrivare alle stesse conclusioni se avessi risolto l'integrale (l'integrale vale $\frac{2}{5}sqrt(x)(x^2+5)$ e converge a 0 per x che tende a 0 e diverge a + infinito per x che tende a +infinto). Però ripeto: se dovessi verificare la covergenza di $\int_0^b\frac{sinx}{x}$ non potevi risolvere l'integrale perchè non è esprimibile mediante funzioni elementari.
Si si ho scritto bene ma non capisco perchè per x che tende a 0 prende una funzione e per x che tende a infinito ne prende un'altra?
Cioè perchè per x-> 0 ho $1/x^(1/2)$
e per x-> ho $1/x^(3/2)$
Cioè perchè per x-> 0 ho $1/x^(1/2)$
e per x-> ho $1/x^(3/2)$
vediamo se ho capito i tuoi dubbi e se riesco a spiegarti...
suppongo che il testo chieda di dimostrare la sommabilità delle funzioni da integrare.
per quanto riguarda il primo esercizio, viene presa come riferimento la funzione $f(x)=1/x$ che non è sommabile né nell'intorno dello zero né nell'intorno dell'infinito, però è tale che tutte le funzioni che assumono valori "minori" [di un ordine maggiore di infinitesimo] di essa (nell'intorno dello zero e/o nell'intorno dell'infinito) sono ivi sommabili. quindi, mentre $x^(-1)$ non è sommabile né nell'intorno dello zero né nell'intorno dell'infinito, $x^alpha$ è sommabile nell'intorno dello zero se e solo se $alpha> -1$ mentre è sommabile nell'intorno di $+oo$ se e solo se $alpha< -1$. nel tuo caso -3/2 < -1, -1/2 > -1.
nel secondo esercizio ha scomposto $4x-x^2=x(4-x)$. se sostituisci alla x lo zero, 4-x=4 è un fattore finito, mentre il "problema" è costituito dal fattore "infinitesimo" x. al contrario per x=4.
se $alpha<=0$ il problema non si pone, perché $(4x-x^2)^(-alpha)$ con $-alpha>=0$ sarebbe un polinomio, e non assumerebbe valori infinitamente grandi per valori finiti della x. invece, se $alpha>0$ hai una frazione il cui denominatore si annulla agli estremi del dominio, e quindi il fattore $1/(x^alpha)$ tende a infinito per x che tende a zero mentre il fattore $1/((4-x)^alpha)$ tende a infinito per x che tende a 4.
spero di aver chiarito i tuoi dubbi. ciao.
suppongo che il testo chieda di dimostrare la sommabilità delle funzioni da integrare.
per quanto riguarda il primo esercizio, viene presa come riferimento la funzione $f(x)=1/x$ che non è sommabile né nell'intorno dello zero né nell'intorno dell'infinito, però è tale che tutte le funzioni che assumono valori "minori" [di un ordine maggiore di infinitesimo] di essa (nell'intorno dello zero e/o nell'intorno dell'infinito) sono ivi sommabili. quindi, mentre $x^(-1)$ non è sommabile né nell'intorno dello zero né nell'intorno dell'infinito, $x^alpha$ è sommabile nell'intorno dello zero se e solo se $alpha> -1$ mentre è sommabile nell'intorno di $+oo$ se e solo se $alpha< -1$. nel tuo caso -3/2 < -1, -1/2 > -1.
nel secondo esercizio ha scomposto $4x-x^2=x(4-x)$. se sostituisci alla x lo zero, 4-x=4 è un fattore finito, mentre il "problema" è costituito dal fattore "infinitesimo" x. al contrario per x=4.
se $alpha<=0$ il problema non si pone, perché $(4x-x^2)^(-alpha)$ con $-alpha>=0$ sarebbe un polinomio, e non assumerebbe valori infinitamente grandi per valori finiti della x. invece, se $alpha>0$ hai una frazione il cui denominatore si annulla agli estremi del dominio, e quindi il fattore $1/(x^alpha)$ tende a infinito per x che tende a zero mentre il fattore $1/((4-x)^alpha)$ tende a infinito per x che tende a 4.
spero di aver chiarito i tuoi dubbi. ciao.
Che cosa intendi per sommabilità?
integrabilità, con valore dell'integrale finito.
EDIT:
.... si parla anche di assoluta integrabilità ...
cercando con google ho trovato questo che penso possa interessarti:
http://people.na.infn.it/~simoni/criter ... ilita'.pdf
EDIT:
.... si parla anche di assoluta integrabilità ...
cercando con google ho trovato questo che penso possa interessarti:
http://people.na.infn.it/~simoni/criter ... ilita'.pdf
si è un sinonimo di convergenza
mi sono accorta che non si riesce a "memorizzare" il link, ma io l'ho ottenuto come secondo risultato da google digitando "integrabilità sommabilità", senza le virgolette.
ti riferisci a sommabilità quando parli di "sinonimo di convergenza"?
beh, certamente non è la stessa cosa. si parla di convergenza dell'integrale, che quindi deve esistere prima ancora che essere finito, per funzioni (più precisamente misurabili secondo Lebesgue, ma questo forse non lo sai ancora, ed è solo un dettaglio per gli esercizi proposti) che nell'intervallo di integrazione assumono sempre lo stesso segno a parte per un insieme di punti di misura nulla (a te interessa che sia eventualmente un insieme finito di punti).
ti riferisci a sommabilità quando parli di "sinonimo di convergenza"?
beh, certamente non è la stessa cosa. si parla di convergenza dell'integrale, che quindi deve esistere prima ancora che essere finito, per funzioni (più precisamente misurabili secondo Lebesgue, ma questo forse non lo sai ancora, ed è solo un dettaglio per gli esercizi proposti) che nell'intervallo di integrazione assumono sempre lo stesso segno a parte per un insieme di punti di misura nulla (a te interessa che sia eventualmente un insieme finito di punti).
GRAZIE ANCHE SE NON HO ANCORA CAPITO BENISSIMO
prego. prova a ripercorrere tutto l'esercizio e dimmi che cosa ancora non ti è chiaro.
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