Integrali impropri!
Ciao, devo vedere se questo integrale converge, diverge oppure è indeterminato:
$int _(0)^(1) 1/sqrt(e^x-1) dx
Inoltre credo di ricordare che c'era una condizione necessaria affinche l'integrale converga, un pò come le serie. E' questo il caso?
$int _(0)^(1) 1/sqrt(e^x-1) dx
Inoltre credo di ricordare che c'era una condizione necessaria affinche l'integrale converga, un pò come le serie. E' questo il caso?
Risposte
Ti basta ricordare che gli integrali del tipo $int_(0)^1 1/x^(alpha) dx$ convergono per $alpha<1$. Poi puoi procedere con un confronto
Stavo facendo anche questa, che dovrebbe essere molto semplice:
$int _(0)^(1) x/(x+x^2) dx$ e mi torna sempre che diverge, mentre nelle soluzioni risulta convergente.
$int _(0)^(1) x/(x+x^2) dx$ e mi torna sempre che diverge, mentre nelle soluzioni risulta convergente.
Come fa a divergere? A me torna $\ln(2)$.
Il dominio di integrazione è limitato e il problema della
convergenza si pone solo per $x->0^+$, ma si vede
immediatamente che per $x->0^+$ l'integranda
tende a 1 come $1/(1+x)$ che è integrabile in $(0,1)$.
convergenza si pone solo per $x->0^+$, ma si vede
immediatamente che per $x->0^+$ l'integranda
tende a 1 come $1/(1+x)$ che è integrabile in $(0,1)$.
Ok, adesso ho rifatto e torna, prima ero portato fuori strada dal fatto che $int _(0)^(1) 1/x^a dx$ fosse divergente per a=1. Ma come mai allora la mia converge nonostante sia asintotica all'altra?
"Tipper":
Come fa a divergere? A me torna $\ln(2)$.
come hai proceduto per risolverla?
io ho portato dentro un 2 e sommato e sottratto 1 così una prima parte m'è venuta facilmente...
il resto ho fattorizzato... però così mi viene diversa...
$1/x$ e $1/(1+x)$ non sono asintotiche per $xrarr0^+$
Altro integrale:
$int _(0)^(3) x/sqrt(9-x^2) dx$
Ecco cosa succede, a me torna convergente a -3, sul mio eserciziario c'è scritto che converge ma il software di calcolo che uso mi dice che diverge.
$int _(0)^(3) x/sqrt(9-x^2) dx$
Ecco cosa succede, a me torna convergente a -3, sul mio eserciziario c'è scritto che converge ma il software di calcolo che uso mi dice che diverge.
"Ziko":
Altro integrale:
$int _(0)^(3) x/sqrt(9-x^2) dx$
Ecco cosa succede, a me torna convergente a -3, sul mio eserciziario c'è scritto che converge ma il software di calcolo che uso mi dice che diverge.
$int _(0)^(3) x/sqrt(9-x^2) dx=[-sqrt(9-x^2)]_{0}^{3}=3$
Cosa vuol dire calcolare gli integrali impropri utilizzando la definizione?
"Ziko":
Cosa vuol dire calcolare gli integrali impropri utilizzando la definizione?
attraverso il limite credo
Come procedo per un integrale come questo?
$int _(0)^(infty) ln(1+x)/(x^(3/2)) dx$
$int _(0)^(infty) ln(1+x)/(x^(3/2)) dx$
Prova per parti. Ricorda che quell'integrale è uguale a:
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{\epsilon}^{1}\frac{\ln(x+1)}{x^{\frac{3}{2}}}dx+\lim_{\epsilon \rightarrow +\infty}\int_{1}^{\epsilon}\frac{\ln(x+1)}{x^{\frac{3}{2}}}dx$
$\lim_{\epsilon \rightarrow 0^{+}}\int_{\epsilon}^{1}\frac{\ln(x+1)}{x^{\frac{3}{2}}}dx+\lim_{\epsilon \rightarrow +\infty}\int_{1}^{\epsilon}\frac{\ln(x+1)}{x^{\frac{3}{2}}}dx$
"Ziko":
Come procedo per un integrale come questo?
$int _(0)^(infty) ln(1+x)/(x^(3/2)) dx$
integrazione per parti:
$int ln(1+x)/(x^(3/2)) dx=-2/(sqrtx)*ln(1+x)+2int1/(sqrtx(x+1))dx$
Ora $int1/(sqrtx(x+1))dx$ lo risolviamo con la sostituzione $sqrtx=t->x=t^2->dx=2tdt$ per cui
$int1/(sqrtx(x+1))dx=int(2tdt)/(t(t^2+1))=int2/(1+t^2)dt=2arctgt=2arctg(sqrtx)+K$ per cui
$F(x)=int ln(1+x)/(x^(3/2)) dx=-2/(sqrtx)*ln(1+x)+2int1/(sqrtx(x+1))dx=-2/(sqrtx)*ln(1+x)+4arctg(sqrtx)+K$ per cui
$int _(0)^(infty) ln(1+x)/(x^(3/2)) dx=lim_(x->+infty)F(x)-lim_(x->0^+)F(x)$
Ora $lim_(x->+infty)-2/(sqrtx)*ln(1+x)=0,lim_(x->+infty)4arctg(sqrtx)=4*pi/2=2pi$ e $lim_(x->0^+)-2/(sqrtx)*ln(1+x)+4arctg(sqrtx)=0$ per cui
$int _(0)^(infty) ln(1+x)/(x^(3/2)) dx=2pi$
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