Integrali impropri
Buonasera, avrei bisogno di chiarimenti per risolvere un esercizio che non capisco..
L'esercizio in questione è il seguente:
(a) Determinare il carattere dell’integrale improprio
$ int_(0)^(pi/2) tanx dx $
(b) Calcolare
$ lim_(c -> pi/2-) (pi/2-c)int_(0)^(c) tanx dx $
Per quanto riguarda il primo punto io dovrei verificare se esiste $ lim_(c -> pi/2-) int_(0)^(c) tanx dx $, per fare ciò sfrutterei i criteri sulla convergenza, che posso applicare dal momento che la funzione $ tanx $ è positiva nell'intervallo considerato. Questo nella teoria, però nella pratica non capisco come posso applicarli...
Infine nel secondo punto non riesco proprio a capire come dovrei muovermi, la parentesi prima dell'integrale mi confonde parecchio le idee...
Avete consigli?
Grazie mille e buona serata
L'esercizio in questione è il seguente:
(a) Determinare il carattere dell’integrale improprio
$ int_(0)^(pi/2) tanx dx $
(b) Calcolare
$ lim_(c -> pi/2-) (pi/2-c)int_(0)^(c) tanx dx $
Per quanto riguarda il primo punto io dovrei verificare se esiste $ lim_(c -> pi/2-) int_(0)^(c) tanx dx $, per fare ciò sfrutterei i criteri sulla convergenza, che posso applicare dal momento che la funzione $ tanx $ è positiva nell'intervallo considerato. Questo nella teoria, però nella pratica non capisco come posso applicarli...
Infine nel secondo punto non riesco proprio a capire come dovrei muovermi, la parentesi prima dell'integrale mi confonde parecchio le idee...
Avete consigli?
Grazie mille e buona serata
Risposte
Cosa studi?
Qui, più che i criteri di convergenza, puoi fare i conti a mano.
Qui, più che i criteri di convergenza, puoi fare i conti a mano.
$ int_(0)^(pi/2) tanx dx = lim_(c->pi/2-)int_(0)^(c) tanx dx$
Studio matematica ma il mio professore non ha spiegato questi ultimi argomenti, quindi me li sono guardata da sola un po' velocemente per cercare di recuperare e mi sono fissata sui criteri di convergenza senza pensare al resto..
Effettivamente potevo arrivarci, non mi è proprio venuto in mente
Quindi facendo i conti trovo che l'integrale diverge a $ + oo $ e quindi nel secondo punto troverei una forma di indeterminazione, come la risolvo?
L'idea che mi era venuta inizialmente era quella di usare la regola di l'Hopital poichè
$ lim_(c -> pi/2-) (int_(0)^(c) tanx dx )/(1/(pi/2-c) $ è della forma $ oo/oo $, e a questo punto dovrei calcolare la derivata dell'integrale.. Il teorema fondamentale del calcolo integrale richiede però che la funzione sia continua.. Ora la tangente non è continua in R ma lo è nel suo dominio, quindi posso utilizzarlo comunque?
Effettivamente potevo arrivarci, non mi è proprio venuto in mente
Quindi facendo i conti trovo che l'integrale diverge a $ + oo $ e quindi nel secondo punto troverei una forma di indeterminazione, come la risolvo?
L'idea che mi era venuta inizialmente era quella di usare la regola di l'Hopital poichè
$ lim_(c -> pi/2-) (int_(0)^(c) tanx dx )/(1/(pi/2-c) $ è della forma $ oo/oo $, e a questo punto dovrei calcolare la derivata dell'integrale.. Il teorema fondamentale del calcolo integrale richiede però che la funzione sia continua.. Ora la tangente non è continua in R ma lo è nel suo dominio, quindi posso utilizzarlo comunque?
Ciao sofisofi,
Benvenuta sul forum!
Seguirei il suggerimento di gugo82, anche perché l'integrale della tangente è immediato:
$\int tan x \text{d}x = \int (sin x)/(cos x) \text{d}x = - ln(cos x) + C $
Quindi...
Lo scriverei in forma diversa e poi applicherei la regola di de l'Hôpital:
$ \lim_(c \to (pi/2)^-) (pi/2-c)\int_0^c tanx \text{d}x = \lim_(c \to (pi/2)^-) (\int_0^c tanx \text{d}x)/(1/(pi/2-c)) \stackrel [H]{=} ... $
Benvenuta sul forum!
"gugo82":
Qui, più che i criteri di convergenza, puoi fare i conti a mano.
Seguirei il suggerimento di gugo82, anche perché l'integrale della tangente è immediato:
$\int tan x \text{d}x = \int (sin x)/(cos x) \text{d}x = - ln(cos x) + C $
Quindi...
"sofisofi":
Infine nel secondo punto non riesco proprio a capire come dovrei muovermi, la parentesi prima dell'integrale mi confonde parecchio le idee...
Avete consigli?
Lo scriverei in forma diversa e poi applicherei la regola di de l'Hôpital:
$ \lim_(c \to (pi/2)^-) (pi/2-c)\int_0^c tanx \text{d}x = \lim_(c \to (pi/2)^-) (\int_0^c tanx \text{d}x)/(1/(pi/2-c)) \stackrel [H]{=} ... $
"sofisofi":
quindi posso utilizzarlo comunque?
si perche in $(0,\pi/2)$ è continua
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