Integrali impropri.
Buongiorno,
sto studiando la teoria riguardante gli integrali impropri, precisamente nel caso se : intervallo di integrazione è una semiretta, il mio libro fa il seguente esempio:
\(\displaystyle lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} e^{-x^2}\, dx \)
chiedendosi se è integrabile in $[1, + infty)$.
Vi riporto come sta scritto sul mio libro parola per parola:
Stavolta non si può calcolare esplicitamente l'integrale, ma si può osservare la nostra funzione $f(x) ge 0$, e di conseguenza la funzione integrale
è crescente.
Il passaggio che non mi è chiaro è quello ingrassetto, mi chiedo come posso dedure che se $f(x) ge 0 $ implica $F(t)$ è crescente ?
Forse per questo (tralasciando le definizioni)
e quindi dire
$f(x) ge 0 $ equivale a dire $F'(t) ge 0 $ allora se $F'(t) ge 0$ allora $F$ è strettamente crescente.
E' corretto il mio ragionamento, oppure qualcuno si sta rivoltando nella tomba
Grazie per la risposta.
Ciao
sto studiando la teoria riguardante gli integrali impropri, precisamente nel caso se : intervallo di integrazione è una semiretta, il mio libro fa il seguente esempio:
\(\displaystyle lim_{t \to +\infty} \int_{1}^{t} e^{-x^2}\, dx \)
chiedendosi se è integrabile in $[1, + infty)$.
Vi riporto come sta scritto sul mio libro parola per parola:
Stavolta non si può calcolare esplicitamente l'integrale, ma si può osservare la nostra funzione $f(x) ge 0$, e di conseguenza la funzione integrale
$F(t)=int_{1}^{t} e^{-x^2}\, dx$
è crescente.
Il passaggio che non mi è chiaro è quello ingrassetto, mi chiedo come posso dedure che se $f(x) ge 0 $ implica $F(t)$ è crescente ?
Forse per questo (tralasciando le definizioni)
$F'(t)=f(x)$
e quindi dire
$f(x) ge 0 $ equivale a dire $F'(t) ge 0 $ allora se $F'(t) ge 0$ allora $F$ è strettamente crescente.
E' corretto il mio ragionamento, oppure qualcuno si sta rivoltando nella tomba
Grazie per la risposta.
Ciao
Risposte
Certo. 
Si chiamano Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e Criterio di Monotónia.
Si chiamano Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale e Criterio di Monotónia.
Ok perfetto, ogni tanto ci azzecco 
Quindi questo ragionamento si potrebbe fare anche per le funzioni negative ?
Con i dovuti accorgimenti
Quindi questo ragionamento si potrebbe fare anche per le funzioni negative ?
Con i dovuti accorgimenti
Beh, intuitivamente è chiaro se hai presente come è "fatta" $e^(-x^2)$.
Se $F(t)= \int_{0}^{t} e^(-x^2) \text{dx}$, allora visto che $e^(-x^2)$ è sempre postiva, muovendoti verso destra su $I=[1,+\infty)$ hai che il valore dell'area sottesa è sempre maggiore. Questa è la versione informale che fa uso dell'interpretazione dell'integrale di Riemann.
Più formalmente, come cercavi di dire: se $F(t)=\int_{a}^{\Phi(t)} f(x) \text{dx}$, allora $F'(t)= f(\Phi (t))* \Phi'(t)$, che nel nostro caso è $F'(t)=e^(-t^2)$. Poiché $e^(-t^2)$ è sempre positivo qualunque si $t \in RR$, allora la funzione integrale è crescente.
Edit Ho visto ora il messaggio di gugo
Se $F(t)= \int_{0}^{t} e^(-x^2) \text{dx}$, allora visto che $e^(-x^2)$ è sempre postiva, muovendoti verso destra su $I=[1,+\infty)$ hai che il valore dell'area sottesa è sempre maggiore. Questa è la versione informale che fa uso dell'interpretazione dell'integrale di Riemann.
Più formalmente, come cercavi di dire: se $F(t)=\int_{a}^{\Phi(t)} f(x) \text{dx}$, allora $F'(t)= f(\Phi (t))* \Phi'(t)$, che nel nostro caso è $F'(t)=e^(-t^2)$. Poiché $e^(-t^2)$ è sempre positivo qualunque si $t \in RR$, allora la funzione integrale è crescente.
Edit Ho visto ora il messaggio di gugo
In realtà usando il criterio della derivata uno assume implicitamente che la funzione integranda sia continua, ma questo non è necessario. Se \(f\colon \mathbb R\to \mathbb R\) è una funzione non-negativa e integrabile (sugli intervalli limitati), allora la funzione integrale
\[
F(x)=\int_a^x f(t)\, dt \]
è crescente su \([a, +\infty)\) perché
\[
F(x+h)=F(x)+\int_x^h f(t)\, dt = F(x)+ \text{un numero non negativo}.\]
Così è ancora più semplice. In fondo l'integrale è una somma: se noi sommiamo più addendi, e se essi sono positivi, il risultato finale non può che aumentare.
\[
F(x)=\int_a^x f(t)\, dt \]
è crescente su \([a, +\infty)\) perché
\[
F(x+h)=F(x)+\int_x^h f(t)\, dt = F(x)+ \text{un numero non negativo}.\]
Così è ancora più semplice. In fondo l'integrale è una somma: se noi sommiamo più addendi, e se essi sono positivi, il risultato finale non può che aumentare.
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