Integrali impropri
Ciao a tutti! Sto provando a risolvere degli integrali impropri ma ho delle difficoltà nella risoluzione di alcuni esercizi ve ne espongo due, vi prego di darmi una mano nella risoluzione .
1)$ int_(-oo)^(-1)ln^alpha(1+e^x) $ l'integrale presenta problemi in x=-oo
pongo $ y=1/e^x $
quindi $ lim_(y->0)1/y^alpha $ questa converge per $alpha<1$ ma il risultato è errato
2) $ int_(0)^(+oo) (arctg(x))/((1+x)ln^alpha(1+x)) $ l'integrale presenta problemi in x=0 e x=+oo
$ lim_(x->0) (x+o(1))/((1+x)x^alpha+o(1) $ quindi $ lim_(x->0) 1/(x^(alpha-1)+x^(alpha)) $ risulta che $alpha<1$
$ lim_(x->+oo) (pi/2)/(xln^alphax) $ converge per $alpha>1$ mettendo a sistema risulta non esserci nessuna soluzione ma nuovamente la risposta è errata
1)$ int_(-oo)^(-1)ln^alpha(1+e^x) $ l'integrale presenta problemi in x=-oo
pongo $ y=1/e^x $
quindi $ lim_(y->0)1/y^alpha $ questa converge per $alpha<1$ ma il risultato è errato
2) $ int_(0)^(+oo) (arctg(x))/((1+x)ln^alpha(1+x)) $ l'integrale presenta problemi in x=0 e x=+oo
$ lim_(x->0) (x+o(1))/((1+x)x^alpha+o(1) $ quindi $ lim_(x->0) 1/(x^(alpha-1)+x^(alpha)) $ risulta che $alpha<1$
$ lim_(x->+oo) (pi/2)/(xln^alphax) $ converge per $alpha>1$ mettendo a sistema risulta non esserci nessuna soluzione ma nuovamente la risposta è errata
Risposte
Intanto entrambi gli integrali presentano un problema di notazione. I differenziali non sono soltanto un abbellimento. Comunque, assumendo che si integri rispetto ad \( x\):
1) \( \displaystyle \int_{- \infty}^{-1} \ln^{\alpha} \left ( 1 + e^x \right ) \; \text{d} x \)
Facendo la sostituzione \( y = \frac{1}{e^x} \), non risulta che \( y \to 0\). Infatti:
\[ \lim_{x \to - \infty} { \frac{1}{e^x}} \underset{x < 0}{=} \lim_{x \to - \infty} { e^{|x|}} = + \infty \]
Quindi, questa sostituzione potrebbe a ben poco. Se invece \( y = e^x \implies \text{d} x = \frac{1}{y} \; \text{d} y \):
\[ \int_{- \infty}^{-1} \ln^{\alpha} \left ( 1 + e^x \right ) \; \text{d} x = \int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{ \ln^\alpha (1 + y)}{y} \; \text{d} y \]
Adesso, notando che:
\[ \frac{ \ln^\alpha (1+y)}{y} = \frac{\ln (1+y)}{y} \frac{\ln^{\alpha - 1} (1+y)}{y^{\alpha -1}} y^{\alpha -1} \underset{y \to 0}{\sim} y^{\alpha -1}\]
Concludiamo che questo integrale improprio è asintotico, per \( y \to 0 \), all'integrale improprio notevole:
\[ \int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{y^{1-\alpha}} \; \text{d} y \]
che converge \( \iff 1 - \alpha < 1 \iff \alpha > 0 \).
2) Prova sfruttare ciò che abbiamo ottenuto nel primo.
1) \( \displaystyle \int_{- \infty}^{-1} \ln^{\alpha} \left ( 1 + e^x \right ) \; \text{d} x \)
Facendo la sostituzione \( y = \frac{1}{e^x} \), non risulta che \( y \to 0\). Infatti:
\[ \lim_{x \to - \infty} { \frac{1}{e^x}} \underset{x < 0}{=} \lim_{x \to - \infty} { e^{|x|}} = + \infty \]
Quindi, questa sostituzione potrebbe a ben poco. Se invece \( y = e^x \implies \text{d} x = \frac{1}{y} \; \text{d} y \):
\[ \int_{- \infty}^{-1} \ln^{\alpha} \left ( 1 + e^x \right ) \; \text{d} x = \int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{ \ln^\alpha (1 + y)}{y} \; \text{d} y \]
Adesso, notando che:
\[ \frac{ \ln^\alpha (1+y)}{y} = \frac{\ln (1+y)}{y} \frac{\ln^{\alpha - 1} (1+y)}{y^{\alpha -1}} y^{\alpha -1} \underset{y \to 0}{\sim} y^{\alpha -1}\]
Concludiamo che questo integrale improprio è asintotico, per \( y \to 0 \), all'integrale improprio notevole:
\[ \int_{0}^{\frac{1}{e}} \frac{1}{y^{1-\alpha}} \; \text{d} y \]
che converge \( \iff 1 - \alpha < 1 \iff \alpha > 0 \).
2) Prova sfruttare ciò che abbiamo ottenuto nel primo.
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