Integrali impropri
Salve a tutti, ho svolto questi integrali impropri e non sicurissimo del procedimento che ho seguito, vi sarei grato se potreste controllarli ed evidenziare eventuali lacune...
1) $ int_(-oo )^(-1) (e^x)/(x^2) dx $
2) $ int_(1)^(oo ) (arctgx - pi + 1/x) dx $
1) Qui come estremo "problematico" vi è l'infinito, solo che è presente col segno negativo: allora ho effettuato la sostituzione
$ x=-t $ , $ dx=-dt $ e perciò $ -int_(oo )^(1) (e^(-t))/((-t)^2) dt = int_(1)^(oo) 1/(e^t*t^2) dt $ a questo punto poichè la funzione integranda è positiva e decrescente a zero, passo allo studio della serie $ sum_(t =1,...,oo ) 1/(e^t *t^2) $ e si ha che $ 1/(e^t *t^2)~ 1/e^t $ e studiando questa serie col criterio della radice n-esima (t-esima in tal caso) vedo che converge, perciò convergerà anche l'integrale di partenza.
2) Anche qui il problema è l'estremo illimitato: non essendomi molto chiaro come procedere ho provato a vedere semplicemente quanto fa il $ lim_(x -> +oo ) (arctgx - pi + 1/x)= pi/2-pi+0=-pi/2 $ ...posso allora concludere che l'integrale diverge vero? Se non ricordo male infatti negli integrali impropri ad estremi illimitati se trovo che il limite dell'integranda è diverso da zero, sostanzialmente vuol dire che avrò sempre un "rettangolone" al di sotto del quale non scenderò mai...ora, il discorso valeva anche per quelli con estremi limitati? Teoricamente non dovrebbe, ma non ne sono sicuro...
1) $ int_(-oo )^(-1) (e^x)/(x^2) dx $
2) $ int_(1)^(oo ) (arctgx - pi + 1/x) dx $
1) Qui come estremo "problematico" vi è l'infinito, solo che è presente col segno negativo: allora ho effettuato la sostituzione
$ x=-t $ , $ dx=-dt $ e perciò $ -int_(oo )^(1) (e^(-t))/((-t)^2) dt = int_(1)^(oo) 1/(e^t*t^2) dt $ a questo punto poichè la funzione integranda è positiva e decrescente a zero, passo allo studio della serie $ sum_(t =1,...,oo ) 1/(e^t *t^2) $ e si ha che $ 1/(e^t *t^2)~ 1/e^t $ e studiando questa serie col criterio della radice n-esima (t-esima in tal caso) vedo che converge, perciò convergerà anche l'integrale di partenza.
2) Anche qui il problema è l'estremo illimitato: non essendomi molto chiaro come procedere ho provato a vedere semplicemente quanto fa il $ lim_(x -> +oo ) (arctgx - pi + 1/x)= pi/2-pi+0=-pi/2 $ ...posso allora concludere che l'integrale diverge vero? Se non ricordo male infatti negli integrali impropri ad estremi illimitati se trovo che il limite dell'integranda è diverso da zero, sostanzialmente vuol dire che avrò sempre un "rettangolone" al di sotto del quale non scenderò mai...ora, il discorso valeva anche per quelli con estremi limitati? Teoricamente non dovrebbe, ma non ne sono sicuro...
Risposte
mi ritrovo con i tuoi risultati anche se per il primo si poteva concludere più rapidamente osservando che all'infinito l'integrando è un infinitesimo di ordine maggiore di 1
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